![\"Esferas\"](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/ScreenHunter_857-Jan.-24-09.10.jpg\")
<\/p>\nNa geometria, uma superf\u00edcie esf\u00e9rica \u00e9 uma superf\u00edcie formado pelo conjunto de pontos no espa\u00e7o equidistantes a partir de um ponto de chamada do centro.<\/p>\n
Esferas – Propriedades<\/b><\/p>\n
Qualquer segmento que cont\u00e9m o centro da esfera, e as suas extremidades est\u00e3o na superf\u00edcie esf\u00e9rica \u00e9 um di\u00e2metro.
\nQualquer parte plana de uma esfera \u00e9 um c\u00edrculo.
\nQualquer corte atrav\u00e9s do centro de uma esfera \u00e9 um grande c\u00edrculo , e se a se\u00e7\u00e3o n\u00e3o passar pelo centro \u00e9 um c\u00edrculo menor .
\nSe um c\u00edrculo menor \u00e9 dada, as extremidades do di\u00e2metro perpendicular \u00e0 que chamou p\u00f3los do dito c\u00edrculo.<\/p>\n
Aplica\u00e7\u00e3o:<\/b>\u00a0volumes de l\u00edquidos<\/p>\n
Um problema fundamental para empresas que armazenam l\u00edquidos em tanques esf\u00e9ricos, cil\u00edndricos ou esf\u00e9ricos e cil\u00edndricos \u00e9 a necessidade de realizar c\u00e1lculos de volumes de regi\u00f5es esf\u00e9ricas a partir do conhecimento da altura do l\u00edquido colocado na mesma.<\/p>\n
Por exemplo, quando um tanque \u00e9 esf\u00e9rico, ele possui um orif\u00edcio na parte superior (polo Norte) por onde \u00e9 introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas.<\/p>\n
Ao retirar a vara, observa-se o n\u00edvel de l\u00edquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde \u00e0 altura de l\u00edquido contido na regi\u00e3o esf\u00e9rica. Este n\u00e3o \u00e9 um problema trivial, como observaremos pelos c\u00e1lculos realizados na sequ\u00eancia.<\/p>\n
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A seguir apresentaremos elementos esf\u00e9ricos b\u00e1sicos e algumas f\u00f3rmulas para c\u00e1lculos de \u00e1reas na\u00a0esfera<\/b>\u00a0e volumes em um s\u00f3lido esf\u00e9rico.<\/p>\n
A superf\u00edcie esf\u00e9rica<\/b><\/p>\n
A\u00a0esfera<\/b>\u00a0no espa\u00e7o R\u00b3 \u00e9 o conjunto de todos os pontos do espa\u00e7o que est\u00e3o localizados a uma mesma dist\u00e2ncia denominada raio de um ponto fixo chamado centro.<\/p>\nUma nota\u00e7\u00e3o para a esfera com raio unit\u00e1rio centrada na origem de R\u00b3 \u00e9:<\/h5>\n
S\u00b2 = { (x,y,z) em R\u00b3:<\/b>\u00a0x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 = 1 }<\/p>\n
Uma esfera de raio unit\u00e1rio centrada na origem de R4 \u00e9 dada por:<\/b><\/p>\n
S\u00b3 = { (w,x,y,z) em R4:<\/b>\u00a0w\u00b2 + x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 = 1 }<\/p>\n
Voc\u00ea conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?<\/b><\/p>\n
Do ponto de vista pr\u00e1tico, a\u00a0esfera<\/b>\u00a0pode ser pensada como a pel\u00edcula fina que envolve um s\u00f3lido esf\u00e9rico. Em uma melancia esf\u00e9rica, a esfera poderia ser considerada a pel\u00edcula verde (casca) que envolve a fruta.<\/p>\n
\u00c9 comum encontrarmos na literatura b\u00e1sica a defini\u00e7\u00e3o de esfera como sendo o s\u00f3lido esf\u00e9rico, no entanto n\u00e3o se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que \u00e9 a \u00e1rea da Matem\u00e1tica que trata do detalhamento de tais situa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n
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O disco esf\u00e9rico \u00e9 o conjunto de todos os pontos do espa\u00e7o que est\u00e3o localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista pr\u00e1tico, o disco esf\u00e9rico pode ser pensado como a reuni\u00e3o da pel\u00edcula fina que envolve o s\u00f3lido esf\u00e9rico com a regi\u00e3o s\u00f3lida dentro da esfera. Em uma melancia esf\u00e9rica, o disco esf\u00e9rico pode ser visto como toda a fruta.<\/p>\n
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equa\u00e7\u00e3o da esfera \u00e9 dada por:<\/b><\/p>\n
x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 = R\u00b2<\/p>\n
e a rela\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica que define o disco esf\u00e9rico \u00e9 o conjunto que cont\u00e9m a casca reunido com o interior, isto \u00e9:<\/b><\/p>\n
x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 < R\u00b2<\/p>\n
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (xo,yo,zo), a equa\u00e7\u00e3o da esfera \u00e9 dada por:<\/b><\/p>\n
(x-xo)\u00b2 + (y-yo)\u00b2 + (z-zo)\u00b2 = R\u00b2<\/p>\n
e a rela\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica que define o disco esf\u00e9rico \u00e9 o conjunto que cont\u00e9m a casca reunido com o interior, isto \u00e9, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R\u00b3 tal que:<\/b><\/p>\n
(x-xo)\u00b2 + (y-yo)\u00b2 + (z-zo)\u00b2 < R\u00b2<\/p>\n
Da forma como est\u00e1 definida, a\u00a0esfera<\/b>\u00a0centrada na origem pode ser constru\u00edda no espa\u00e7o euclidiano R\u00b3 de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R\u00b3, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).<\/p>\n
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Seccionando a esfera x\u00b2+y\u00b2+z\u00b2=R\u00b2 com o plano z=0, obteremos duas superf\u00edcies semelhantes:<\/b>\u00a0o hemisf\u00e9rio Norte (\u201cboca para baixo\u201d) que \u00e9 o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z \u00e9 n\u00e3o negativa e o hemisf\u00e9rio Sul (\u201cboca para cima\u201d) que \u00e9 o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z n\u00e3o \u00e9 positiva.<\/p>\n
Se seccionarmos a esfera x\u00b2+y\u00b2+z\u00b2=R\u00b2 por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunfer\u00eancia maximal C da esfera que \u00e9 uma circunfer\u00eancia contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, constru\u00edda no plano YZ e a equa\u00e7\u00e3o desta circunfer\u00eancia ser\u00e1:<\/b><\/p>\n
x=0, y\u00b2 + z\u00b2 = R2<\/b><\/p>\n
sendo que esta circunfer\u00eancia intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunfer\u00eancias maximais em uma esfera.<\/p>\n
Se rodarmos esta circunfer\u00eancia maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera atrav\u00e9s da rota\u00e7\u00e3o e por este motivo, a esfera \u00e9 uma superf\u00edcie de revolu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
Se tomarmos um arco contido na circunfer\u00eancia maximal cujas extremidades s\u00e3o os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p\u00b2+q\u00b2=R\u00b2 e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superf\u00edcie denominada calota esf\u00e9rica.<\/p>\n
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Na pr\u00e1tica, as pessoas usam o termo calota esf\u00e9rica para representar tanto a superf\u00edcie como o s\u00f3lido geom\u00e9trico envolvido pela calota esf\u00e9rica. Para evitar confus\u00f5es, usarei “calota esf\u00e9rica” com aspas para o s\u00f3lido e sem aspas para a superf\u00edcie.<\/p>\n
A partir da rota\u00e7\u00e3o, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p\u00b2+q\u00b2=R\u00b2 no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r\u00b2+s\u00b2=R\u00b2 e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superf\u00edcie de revolu\u00e7\u00e3o denominada zona esf\u00e9rica.<\/p>\n
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De um ponto de vista pr\u00e1tico, consideremos uma melancia esf\u00e9rica. Com uma faca, cortamos uma “calota esf\u00e9rica” superior e uma “calota esf\u00e9rica” inferior. O que sobra da melancia \u00e9 uma regi\u00e3o s\u00f3lida envolvida pela zona esf\u00e9rica, algumas vezes denominada zona esf\u00e9rica.<\/p>\n
Consideremos uma “calota esf\u00e9rica” com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra “calota esf\u00e9rica” com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A regi\u00e3o s\u00f3lida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esf\u00e9rico com bases paralelas.<\/p>\n
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No que segue, usaremos esfera tanto para o s\u00f3lido como para a superf\u00edcie, “calota esf\u00e9rica” para o s\u00f3lido envolvido pela calota esf\u00e9rica, a letra mai\u00fascula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os c\u00e1lculos, V ser\u00e1 o volume, A(lateral) ser\u00e1 a \u00e1rea lateral e e A(total) ser\u00e1 a \u00e1rea total.<\/p>\n
Algumas f\u00f3rmulas (rela\u00e7\u00f5es) para objetos esf\u00e9ricos<\/b><\/p>\n
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Estas f\u00f3rmulas podem ser obtidas como aplica\u00e7\u00f5es do C\u00e1lculo Diferencial e Integral, mas n\u00f3s nos limitaremos a apresentar um processo matem\u00e1tico para a obten\u00e7\u00e3o da f\u00f3rmula do c\u00e1lculo do volume da \u201ccalota esf\u00e9rica\u201d em fun\u00e7\u00e3o da altura da mesma.<\/p>\n
Fonte:<\/strong>\u00a0Col\u00e9gio S\u00e3o Francisco\/pessoal.sercomtel.com.br<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Na geometria, uma superf\u00edcie esf\u00e9rica \u00e9 uma superf\u00edcie formado pelo conjunto de pontos no espa\u00e7o equidistantes a partir de um ponto de chamada do centro. Esferas – Propriedades Qualquer segmento que cont\u00e9m o centro da esfera, e as suas extremidades est\u00e3o na superf\u00edcie esf\u00e9rica \u00e9 um di\u00e2metro. Qualquer parte plana de uma esfera \u00e9 um […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[414],"tags":[],"class_list":["post-96076","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica"],"acf":[],"yoast_head":"\n