{"id":95975,"date":"2017-01-23T11:58:56","date_gmt":"2017-01-23T13:58:56","guid":{"rendered":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/?p=95975"},"modified":"2026-06-01T15:46:46","modified_gmt":"2026-06-01T17:46:46","slug":"cilindros","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/matematica\/cilindros","title":{"rendered":"Cilindros"},"content":{"rendered":"

Na sua forma mais simples, um\u00a0cilindro<\/b>\u00a0\u00e9 a superf\u00edcie formada pelos pontos a uma dist\u00e2ncia fixa a partir de uma dada linha reta chamado o eixo do cilindro.<\/p>\n

\u00c9 um dos mais b\u00e1sicas \u00a0formas geom\u00e9tricas.<\/p>\n

Se o cilindro tem um raio r e o comprimento (altura) h, em seguida, o seu volume de \u00e9 dada pela:<\/b><\/p>\n

\"Cilindros\"<\/p>\n

Tendo um cilindro circular direito, com uma altura\u00a0h<\/i><\/span>\u00a0unidades e uma base de raio\u00a0r<\/i><\/span>\u00a0unidades com os eixos de coordenadas escolhidas de modo a que a origem \u00e9 o centro de uma base e a altura \u00e9 medida ao longo do eixo X positivo. Um plano de corte a uma dist\u00e2ncia de\u00a0x<\/i><\/span>\u00a0unidades da origem tem uma \u00e1rea de\u00a0A<\/i>\u00a0(\u00a0x<\/i>\u00a0)<\/span>\u00a0unidades.
\n\"Cilindros\"<\/p>\n

 <\/p>\n

O conceito de cilindro \u00e9 muito importante. Nas cozinhas encontramos aplica\u00e7\u00f5es intensas do uso de cilindros. Nas constru\u00e7\u00f5es, observamos caixas d’\u00e1gua, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cil\u00edndricas.<\/p>\n

\"Cilindros\"<\/p>\n

Existem outras formas cil\u00edndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela transla\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o seno.<\/p>\n

A Constru\u00e7\u00e3o de cilindros<\/b><\/p>\n

Seja P um plano e nele vamos construir um c\u00edrculo de raio r e tomemos tamb\u00e9m um segmento de reta AB que n\u00e3o seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular \u00e9 a reuni\u00e3o de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no c\u00edrculo.<\/p>\n

\"Cilindros\"<\/p>\n

Observamos que um cilindro \u00e9 uma superf\u00edcie no espa\u00e7o R\u00b3, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a regi\u00e3o s\u00f3lida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um s\u00f3lido usaremos aspas, isto \u00e9, \u201ccilindro\u201d e quando for \u00e0 superf\u00edcie, simplesmente escreveremos cilindro.<\/p>\n

A reta que cont\u00e9m o segmento AB \u00e9 denominada geratriz e a curva que fica no plano do \u201cch\u00e3o\u201d \u00e9 a diretriz.<\/p>\n

Em fun\u00e7\u00e3o da inclina\u00e7\u00e3o do segmento AB em rela\u00e7\u00e3o ao plano do \u201cch\u00e3o\u201d, o cilindro ser\u00e1 chamado reto ou obl\u00edquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou obl\u00edquo ao plano que cont\u00e9m a curva diretriz.<\/p>\n

\"Cilindros\"<\/p>\n

Objetos geom\u00e9tricos em um “cilindro”<\/p>\n

Em um cilindro, podemos identificar v\u00e1rios elementos:<\/b><\/p>\n

Base:<\/b>\u00a0\u00c9 a regi\u00e3o plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
\nEixo:<\/b>\u00a0\u00c9 o segmento de reta que liga os centros das bases do \u201ccilindro\u201d.
\nAltura:<\/b>\u00a0A altura de um cilindro \u00e9 a dist\u00e2ncia entre os dois planos paralelos que cont\u00eam as bases do \u201ccilindro\u201d.
\nSuperf\u00edcie Lateral:<\/b>\u00a0\u00c9 o conjunto de todos os pontos do espa\u00e7o, que n\u00e3o estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
\nSuperf\u00edcie Total:<\/b>\u00a0\u00c9 o conjunto de todos os pontos da superf\u00edcie lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
\n\u00c1rea lateral:<\/b>\u00a0\u00c9 a medida da superf\u00edcie lateral do cilindro.
\n\u00c1rea total:<\/b>\u00a0\u00c9 a medida da superf\u00edcie total do cilindro.
\nSe\u00e7\u00e3o meridiana de um cilindro:<\/b>\u00a0\u00c9 uma regi\u00e3o poligonal obtida pela interse\u00e7\u00e3o de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.<\/p>\n

Extens\u00e3o do conceito de cilindro<\/b><\/p>\n

As caracter\u00edsticas apresentadas antes para cilindros circulares, s\u00e3o tamb\u00e9m poss\u00edveis para outros tipos de curvas diretrizes, como:<\/b>\u00a0elipse, par\u00e1bola, hip\u00e9rbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.<\/p>\n

Mesmo que a diretriz n\u00e3o seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz \u00e9 formada por uma reuni\u00e3o de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz \u00e9 uma curva retangular, temos uma situa\u00e7\u00e3o patol\u00f3gica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.<\/p>\n

Em fun\u00e7\u00e3o da curva diretriz, o cilindro ter\u00e1 o nome de cilindro<\/b>: el\u00edptico, parab\u00f3lico, hiperb\u00f3lico, sinuzoidal (telha de eternit).<\/p>\n

\"Cilindros\"<\/p>\n

Classifica\u00e7\u00e3o dos cilindros circulares<\/b><\/p>\n

Cilindro circular obl\u00edquo:<\/b>\u00a0Apresenta as geratrizes obl\u00edquas em rela\u00e7\u00e3o aos planos das bases.
\nCilindro circular reto<\/b>: As geratrizes s\u00e3o perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro \u00e9 tamb\u00e9m chamado de cilindro de revolu\u00e7\u00e3o, pois \u00e9 gerado pela rota\u00e7\u00e3o de um ret\u00e2ngulo.
\nCilindro eq\u00fcil\u00e1tero:<\/b>\u00a0\u00c9 um cilindro de revolu\u00e7\u00e3o cuja se\u00e7\u00e3o meridiana \u00e9 um quadrado.<\/p>\n

Volume de um \u201ccilindro\u201d<\/b><\/p>\n

Em um cilindro, o volume \u00e9 dado pelo produto da \u00e1rea da base pela altura.<\/p>\n

V = A(base) h<\/p>\n

Se a base \u00e9 um c\u00edrculo de raio r, e pi=3,141593\u2026, ent\u00e3o:<\/h5>\n

V = pi r\u00b2 h<\/p>\n

Exerc\u00edcio:<\/b>\u00a0Calcular o volume de um cilindro obl\u00edquo com base el\u00edptica (semi-eixos a e b) e altura h.\u00a0Sugest\u00e3o<\/b>: Veja nesta mesma P\u00e1gina um material sobre a \u00e1rea da regi\u00e3o el\u00edptica.<\/p>\n

\u00c1rea lateral e \u00e1rea total de um cilindro circular reto<\/p>\n

Em um cilindro circular reto, a \u00e1rea lateral \u00e9 dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r \u00e9 o raio da base e h \u00e9 a altura do cilindro. A \u00e1rea total corresponde \u00e0 soma da \u00e1rea lateral com o dobro da \u00e1rea da base.<\/p>\n

A(total) = A(lateral) + 2 A(base)
\nA(total) = 2 pi r h + 2 pi r\u00b2
\nA(total) = 2 pi r(h+r)<\/p>\n

\"Cilindros\"<\/p>\n

Exemplo:<\/b>\u00a0Um cilindro circular equil\u00e1tero \u00e9 aquele cuja altura \u00e9 igual ao di\u00e2metro da base, isto \u00e9 h=2r.<\/p>\n

Neste caso, para calcular a \u00e1rea lateral, a \u00e1rea total e o volume, podemos usar as f\u00f3rmulas, dadas por:<\/b><\/p>\n

A(lateral) = 4 pi r\u00b2
\nA(base) = pi r\u00b2
\nA(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r\u00b2
\nVolume = A(base).h = pi r\u00b2.2r = 2 pi r\u00b3<\/p>\n

\"Cilindros\"<\/p>\n

Exerc\u00edcio:<\/b>\u00a0Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a \u00e1rea lateral, \u00e1rea total e o seu volume.<\/p>\n

A(base) = pi.r\u00b2 = pi.2\u00b2 = 4 pi cm\u00b2
\nA(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm\u00b2
\nA(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm\u00b2
\nVolume = A(base).h = pi.r\u00b2h = pi.4.3 = 12 pi cm\u00b3<\/p>\n

Fonte:<\/strong>\u00a0Col\u00e9gio S\u00e3o Francisco\/pessoal.sercomtel.com.br<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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