A\u00a0combinat\u00f3ria (ou an\u00e1lise combinat\u00f3ria)<\/b>\u00a0\u00e9 um ramo da matem\u00e1tica pertencentes \u00e0 \u00e1rea da matem\u00e1tica discreta que estudam a enumera\u00e7\u00e3o, constru\u00e7\u00e3o e configura\u00e7\u00f5es exist\u00eancia de propriedades que atendam certas condi\u00e7\u00f5es prescritas. Em adi\u00e7\u00e3o, estuda ordena\u00e7\u00f5es ou grupos de um certo n\u00famero de elementos.<\/p>\n
A\u00a0an\u00e1lise combinat\u00f3ria<\/b>\u00a0responde a perguntas sobre quantas maneiras os elementos podem ser selecionados ou ordenados, sendo fundamental para a teoria da probabilidade, ci\u00eancia da computa\u00e7\u00e3o e criptografia.<\/p>\n
O\u00a0princ\u00edpio multiplicativo<\/b>\u00a0\u00e9 a base de toda a an\u00e1lise combinat\u00f3ria. Ele diz que se um evento acontece em n etapas sucessivas e independentes, o n\u00famero total de possibilidades \u00e9 a multiplica\u00e7\u00e3o das possibilidades de cada etapa<\/p>\n
Exemplo:<\/b>\u00a0Se voc\u00ea tem 3 camisas e 2 cal\u00e7as, o total de combina\u00e7\u00f5es \u00e9 3 x 2 = 6\\ possibilidades.<\/p>\n
An\u00e1lise Combinat\u00f3ria \u2013 Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/b><\/p>\n
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mat\u00e9rias, empilhados de cima para baixo nesta exata ordem:\u00a0<\/strong>Portugu\u00eas, matem\u00e1tica, hist\u00f3ria e geografia.<\/p>\n Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros nesta carteira?<\/strong><\/p>\n Vamos pensar sobre o problema.<\/p>\n Na escolha do primeiro livro a ser colocado na carteira temos 4 possibilidades, pois ainda n\u00e3o colocamos nenhum livro nela, temos ent\u00e3o quatro livros a escolher:\u00a0<\/strong>Portugu\u00eas, matem\u00e1tica, hist\u00f3ria e geografia.<\/p>\n Se come\u00e7armos a pilha com o livro de portugu\u00eas, na escolha do pr\u00f3ximo livro a ser colocado sobre ele, temos 3 possibilidades: <\/strong>matem\u00e1tica, hist\u00f3ria e geografia.<\/p>\n Se escolhermos o livro de hist\u00f3ria como o segundo livro da pilha, para o terceiro livro temos 2 possibilidades apenas:<\/strong>\u00a0matem\u00e1tica e geografia.<\/p>\n Se colocarmos na pilha o livro de geografia, para o \u00faltimo livro temos obviamente 1 possibilidade:<\/strong>\u00a0matem\u00e1tica.<\/p>\n Veja pela figura ao lado que as 4 possibilidades do primeiro livro podem ser combinadas com cada uma das 3 possibilidades do segundo livro, que podem ser combinadas com cada uma das 2 possibilidades do terceiro livro, que podem finalmente ser combinadas com 1 possibilidade do quarto livro.<\/p>\n Matematicamente o n\u00famero total de possibilidades seria:<\/strong><\/p>\n 4\u00a0.\u00a03\u00a0.\u00a02\u00a0.\u00a01\u00a0=\u00a024<\/p>\n Neste c\u00e1lculo utilizamos o\u00a0princ\u00edpio fundamental da contagem<\/b>.<\/p>\n Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/b><\/p>\n O princ\u00edpio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situa\u00e7\u00f5es independentes e sucessivas, tendo a primeira situa\u00e7\u00e3o ocorrendo de m1<\/sub>\u00a0maneiras, a segunda situa\u00e7\u00e3o ocorrendo de m2<\/sub>\u00a0maneiras e assim sucessivamente at\u00e9 a n-\u00e9sima situa\u00e7\u00e3o ocorrendo de mn<\/sub>\u00a0maneiras, temos que o n\u00famero total de ocorr\u00eancias ser\u00e1 dado pelo produto:<\/b><\/p>\n Exemplos<\/strong><\/p>\n Quantos s\u00e3o os n\u00fameros naturais de dois algarismos que s\u00e3o m\u00faltiplos de 5?<\/strong><\/p>\n Como o zero \u00e0 esquerda de um n\u00famero n\u00e3o \u00e9 significativo, para que tenhamos um n\u00famero natural com dois algarismos ele deve come\u00e7ar com um d\u00edgito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.<\/p>\n Para que o n\u00famero seja um m\u00faltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos apenas 2 possibilidades.<\/p>\n A multiplica\u00e7\u00e3o de 9 por 2 nos dar\u00e1 o resultado desejado.<\/p>\n Logo:<\/strong><\/p>\n S\u00e3o 18 os n\u00fameros naturais de dois algarismos que s\u00e3o m\u00faltiplos de 5.<\/p>\n Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me cal\u00e7ar utilizando um par de meias e um de sapatos?<\/strong><\/p>\n Pelo princ\u00edpio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que \u00e9 o n\u00famero de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao n\u00famero de elementos do segundo conjunto.<\/p>\n Portanto:<\/strong><\/p>\n Poderei me cal\u00e7ar de 40 maneiras diferentes.<\/p>\n De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a \u00faltima letra seja sempre a letra R?<\/strong><\/p>\n Para a \u00faltima letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que \u00e9 a letra R.<\/p>\n Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades.<\/p>\n Assim temos:<\/strong><\/p>\n Note que este exemplo \u00e9 semelhante ao caso dos livros, explicado no in\u00edcio da p\u00e1gina, s\u00f3 que neste caso ter\u00edamos mais um livro, digamos de ci\u00eancias, que sempre seria colocado na pilha por \u00faltimo.<\/p>\n Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a \u00faltima letra seja sempre a letra R.<\/p>\n Quantos n\u00fameros naturais com 3 algarismos podemos formar que n\u00e3o comecem com 16, nem com 17?<\/strong><\/p>\n Neste exemplo iremos fazer o c\u00e1lculo em duas partes. Primeiro iremos calcular quantos s\u00e3o os n\u00fameros com tr\u00eas algarismos.<\/p>\n Como neste caso na primeira posi\u00e7\u00e3o n\u00e3o podemos ter o d\u00edgito zero, o n\u00famero de possibilidades para cada posi\u00e7\u00e3o \u00e9 respectivamente:<\/strong>\u00a09, 10 e 10.<\/p>\n Portanto temos 900 n\u00fameros naturais com tr\u00eas d\u00edgitos.<\/p>\n Agora vamos calcular quantos deles come\u00e7am com 16 ou 17.<\/p>\n Para a primeira posi\u00e7\u00e3o temos apenas uma possibilidade, o d\u00edgito 1. Para a segunda temos 2, pois servem tanto o d\u00edgito 6, quanto o 7.<\/p>\n Para a terceira e \u00faltima posi\u00e7\u00e3o temos todos os d\u00edgitos poss\u00edveis, ou seja, 10 possibilidades.<\/p>\n Multiplicando tudo temos 20.<\/p>\n Logo, subtraindo 20 de 900 obtemos 880.<\/p>\n Existem 880 n\u00fameros naturais nestas condi\u00e7\u00f5es.<\/p>\n S\u00e3o quantos os n\u00fameros \u00edmpares com tr\u00eas algarismos, que n\u00e3o possuem d\u00edgitos repetidos e que de tr\u00e1s para frente tamb\u00e9m s\u00e3o \u00edmpares?<\/strong><\/p>\n Os n\u00fameros devem ser \u00edmpares, temos ent\u00e3o 5 possibilidades para o \u00faltimo algarismo.<\/p>\n A hist\u00f3ria do \u201cde tr\u00e1s para frente\u201d, em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo tamb\u00e9m \u00e9 \u00edmpar. Como um d\u00edgito \u00edmpar j\u00e1 foi utilizado na \u00faltima posi\u00e7\u00e3o, temos ent\u00e3o apenas 4 dispon\u00edveis para a primeira posi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Para o d\u00edgito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois d\u00edgitos \u00edmpares j\u00e1 foram utilizados.<\/p>\n Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160.<\/p>\n Assim sendo:<\/strong><\/p>\n S\u00e3o 160 os n\u00fameros \u00edmpares que satisfazem a todas estas condi\u00e7\u00f5es<\/p>\n Fonte:<\/strong>\u00a0Col\u00e9gio S\u00e3o Francisco\/www.matematicadidatica.com.br<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" A\u00a0combinat\u00f3ria (ou an\u00e1lise combinat\u00f3ria)\u00a0\u00e9 um ramo da matem\u00e1tica pertencentes \u00e0 \u00e1rea da matem\u00e1tica discreta que estudam a enumera\u00e7\u00e3o, constru\u00e7\u00e3o e configura\u00e7\u00f5es exist\u00eancia de propriedades que atendam certas condi\u00e7\u00f5es prescritas. 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