{"id":95340,"date":"2017-01-17T16:33:00","date_gmt":"2017-01-17T18:33:00","guid":{"rendered":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/?p=95340"},"modified":"2026-05-29T15:54:18","modified_gmt":"2026-05-29T17:54:18","slug":"determinantes-e-matrizes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/matematica\/determinantes-e-matrizes","title":{"rendered":"Determinantes e Matrizes"},"content":{"rendered":"

Em Matem\u00e1tica indica uma s\u00e9rie de propriedades matem\u00e1ticas e generaliza o conceito de determina\u00e7\u00e3o tornando -o aplic\u00e1veis em muitos campos.<\/p>\n

No entanto, o conceito de determina\u00e7\u00e3o ou de volume orientada foi introduzido para estudar o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es de sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares.<\/p>\n

Para calcular\u00a0determinantes de matrizes<\/b>\u00a0de qualquer ordem, n\u00e3o \u00e9 uma regra recursiva, que reduz a adi\u00e7\u00e3o de c\u00e1lculo e subtra\u00e7\u00e3o de v\u00e1rios determinantes de ordem inferior.<\/p>\n

Este processo pode ser repetido quantas vezes forem necess\u00e1rias para reduzir o problema para o c\u00e1lculo de v\u00e1rios determinantes da ordem t\u00e3o pequenas quanto desejado.<\/p>\n

Sabendo que o determinante de um escalar \u00e9 o pr\u00f3prio escalar, isto \u00e9 poss\u00edvel para calcular o determinante de qualquer matriz por aplica\u00e7\u00e3o da presente teorema.<\/p>\n

Em adi\u00e7\u00e3o a esta regra, para calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem, podemos usar outra defini\u00e7\u00e3o de determinante conhecida como F\u00f3rmula Leibniz .<\/p>\n

A f\u00f3rmula de Leibniz para o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n \u00e9:<\/b><\/p>\n

\"Determinantes\"<\/p>\n

onde a soma \u00e9 calculado sobre todas as permuta\u00e7\u00f5es \u03c3 do conjunto {1,2, …, n }. A posi\u00e7\u00e3o do elemento i depois de permuta\u00e7\u00e3o \u00e9 denotado como \u03c3 \u03c3 i<\/sub> . O conjunto de todas as permuta\u00e7\u00f5es \u00e9 P n<\/sub> . Para cada \u03c3, sgn (\u03c3) \u00e9 a assinatura de \u03c3, este \u00e9 um caso a permuta\u00e7\u00e3o \u00e9 mesmo e -1 se ele for \u00edmpar.<\/p>\n

em ambos \"Determinantes\"\u00a0adendos, o termo<\/p>\n

\"Determinantes\"<\/p>\n

indica o produto das entradas na posi\u00e7\u00e3o ( i<\/i> , \u03c3 i<\/i><\/sub> ), onde i<\/i> vai de 1 a n<\/i> :<\/p>\n

\"Determinantes\"<\/p>\n

F\u00f3rmula de Leibniz \u00e9 \u00fatil como uma defini\u00e7\u00e3o de um determinante; mas, a n\u00e3o ser em casos muito pequenos, n\u00e3o \u00e9 uma maneira pr\u00e1tica de calcul\u00e1-lo:<\/b>\u00a0voc\u00ea tem que executar n! Fatores e adicionando n n produtos! elementos. N\u00e3o normalmente usadas para calcular a determinar se a matriz tiver mais de tr\u00eas linhas.<\/p>\n

Determinante de uma matriz quadrada<\/b><\/p>\n

Se A \u00e9 uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:<\/b><\/p>\n

\"Determinantes\"<\/p>\n

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:<\/b><\/p>\n

det(A) = a11 a22 \u2013 a21 a12<\/p>\n

Se A \u00e9 uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:<\/b><\/p>\n

\"Determinantes\"<\/p>\n

definimos o determinante de A, como:<\/b><\/p>\n

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
\n\u2013 a11a32a23 \u2013 a21a12a33 \u2013 a31a22a13<\/p>\n

Regra pr\u00e1tica de Sarrus<\/b><\/p>\n

Dada a matriz A de ordem 3:<\/b><\/p>\n

Repetimos as duas primeiras colunas ap\u00f3s a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.<\/p>\n

\"Determinantes\"<\/p>\n

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.<\/p>\n

\"Determinantes\"<\/p>\n

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.<\/p>\n

\"Determinantes\"<\/p>\n

O determinante da matriz A \u00e9 a soma dos seis produtos, conservados os sinais:<\/b><\/p>\n

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 \u2013 a11a32a23 \u2013 a21a12a33 \u2013 a31a22a13<\/p>\n

Observamos que esta regra n\u00e3o funciona para matrizes de ordem diferente que 3.<\/p>\n

Propriedades dos determinantes<\/b><\/p>\n

Em todas as situa\u00e7\u00f5es abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.<\/p>\n

Se In \u00e9 a matriz identidade, ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

det(In) = 1<\/p>\n

Se N \u00e9 uma matriz nula, ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

det(N) = 0<\/p>\n

Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

det(A) = 0<\/p>\n

A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto \u00e9:<\/b><\/p>\n

det(At) = det(A)<\/p>\n

Se B \u00e9 a matriz obtida pela multiplica\u00e7\u00e3o de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, ent\u00e3o<\/b>:<\/p>\n

det(B) = k det(A)<\/p>\n

Se B=kA, onde k \u00e9 um escalar, ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

det(B) = kn det(A)<\/p>\n

Se B \u00e9 a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

det(B) = \u2013 det(A)<\/p>\n

Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

det(A) = 0<\/p>\n

Se a diferen\u00e7a entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A \u00e9 uma mesma constante, ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

det(A) = 0<\/p>\n

Se uma linha (ou coluna) de A for m\u00faltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

det(A) = 0<\/p>\n

Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A ser\u00e1 uma fun\u00e7\u00e3o linear da linha (ou coluna) n\u00e3o fixada da matriz.<\/p>\n

Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um n\u00famero real k, o determinante da matriz ser\u00e1 multiplicado (ou dividido) por k.<\/p>\n

Matrizes<\/b><\/p>\n

Matrizes<\/b>\u00a0formam um importante conceito em matem\u00e1tica, de especial uso no estudo de transforma\u00e7\u00f5es lineares. N\u00e3o \u00e9 o prop\u00f3sito desta p\u00e1gina a teoria dessas transforma\u00e7\u00f5es, mas apenas alguns fundamentos e opera\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas com matrizes que as representam.<\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

Uma matriz Am,n <\/sub>pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) n\u00fameros, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.<\/p>\n

Portanto, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:<\/b><\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

Adi\u00e7\u00e3o e subtra\u00e7\u00e3o<\/b><\/p>\n

Esta opera\u00e7\u00e3o s\u00f3 pode ser feita com matrizes de mesmo n\u00famero de linhas e mesmo n\u00famero de colunas.<\/p>\n

\"Determinantes \"Determinantes<\/p>\n

Multiplica\u00e7\u00e3o por um escalar<\/strong><\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

Algumas propriedades das opera\u00e7\u00f5es anteriores<\/b><\/p>\n

Sejam A e B matrizes m,n e c e d escalares.<\/p>\n

Ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n

c (A + B) = cA + cB e d (cA) = dc (A).<\/p>\n

E, tamb\u00e9m, se cA = cB ent\u00e3o A = B.<\/p>\n

Matrizes nulas e unit\u00e1rias<\/b><\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

Multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes<\/strong><\/p>\n

Sejam as matrizes Am,p<\/sub> e Bp,n<\/sub> (o n\u00famero de colunas da primeira deve ser igual ao n\u00famero de linhas da segunda). O produto AB \u00e9 dado pela matriz Cm,n<\/sub> cujos elementos s\u00e3o calculados por:<\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9 | c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8 |<\/p>\n

c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6 | c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7 |<\/p>\n

Temos ent\u00e3o a f\u00f3rmula gen\u00e9rica:<\/strong><\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

Ordem dos fatores<\/b><\/p>\n

Se A e B s\u00e3o matrizes quadradas (igual n\u00famero de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.<\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

Entretanto, na multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes, a ordem dos fatores n\u00e3o \u00e9 indiferente.<\/p>\n

Em geral AB = BA. Se AB = BA, as matrizes s\u00e3o ditas comutativas.<\/p>\n

Algumas propriedades do produto de matrizes<\/b><\/p>\n

Sejam as matrizes A, B e C.<\/p>\n

1)<\/b>\u00a0Se os produtos A(BC) e (AB)C s\u00e3o poss\u00edveis de c\u00e1lculo, ent\u00e3o A(BC) = (AB)C.<\/p>\n

2)<\/b>\u00a0Se os produtos AC e BC s\u00e3o poss\u00edveis, ent\u00e3o (A+B)C = AC + BC.<\/p>\n

3)\u00a0<\/b>Se os produtos CA e CB s\u00e3o poss\u00edveis, ent\u00e3o C(A+B) = CA + CB.<\/p>\n

4)<\/b>\u00a0Se Ip<\/sub>\u00a0\u00e9 a matriz unit\u00e1ria pp conforme j\u00e1 mencionado, ent\u00e3o:<\/b>\u00a0Ip<\/sub>\u00a0Ap,n<\/sub>\u00a0= Ap,n<\/sub>\u00a0e Bm,p<\/sub>\u00a0Ip<\/sub>\u00a0= Bm,p<\/sub>.<\/p>\n

Matriz inversa<\/b><\/p>\n

Sejam as matrizes quadradas An,n<\/sub>\u00a0e Bn,n<\/sub>. Se BA = In<\/sub>, onde In<\/sub> \u00e9 a matriz unit\u00e1ria conforme j\u00e1 visto, ent\u00e3o B \u00e9 chamada de matriz inversa esquerda de A.<\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

Para achar a matriz inversa:<\/b><\/p>\n

Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B.<\/p>\n

O primeiro passo \u00e9 acrescentar uma matriz unit\u00e1ria no lado direito de A.<\/p>\n

Agora, o objetivo \u00e9 somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unit\u00e1ria no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).<\/p>\n

\"Determinantes
\n1\u00aa linha = 1\u00aa linha + 2\u00aa linha multiplicada por -1.<\/p>\n

\"Determinantes
\n2\u00aa linha = 2\u00aa linha + 1\u00aa linha multiplicada por -1.
\n3\u00aa linha = 3\u00aa linha + 1\u00aa linha multiplicada por -2.<\/p>\n

\"Determinantes
\n3\u00aa linha = 3\u00aa linha + 2\u00aa linha multiplicada por -3.<\/p>\n

\"Determinantes
\n3\u00aa linha = 3\u00aa linha multiplicada por -1.<\/p>\n

\"Determinantes
\n2\u00aa linha = 2\u00aa linha + 3\u00aa linha multiplicada por -1.<\/p>\n

\"Determinantes<\/p>\n

E a matriz inversa \u00e9 a parte da direita.<\/p>\n

Fonte:<\/strong>\u00a0Col\u00e9gio S\u00e3o Francisco\/pessoal.sercomtel.com.br<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Em Matem\u00e1tica indica uma s\u00e9rie de propriedades matem\u00e1ticas e generaliza o conceito de determina\u00e7\u00e3o tornando -o aplic\u00e1veis em muitos campos. No entanto, o conceito de determina\u00e7\u00e3o ou de volume orientada foi introduzido para estudar o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es de sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares. 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