![\"Geratriz](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/ScreenHunter_51-Jan.-10-16.15-300x40.jpg\")
<\/p>\nUma\u00a0d\u00edzima peri\u00f3dica<\/b>\u00a0\u00e9 um n\u00famero decimal com uma parte infinita que se repete continuamente. Essa sequ\u00eancia de repeti\u00e7\u00e3o \u00e9 chamada de “per\u00edodo”. Por ser uma representa\u00e7\u00e3o com um padr\u00e3o, ela pertence ao conjunto dos n\u00fameros racionais e pode ser escrita na forma de fra\u00e7\u00e3o (chamada de fra\u00e7\u00e3o geratriz).<\/p>\n
Um\u00a0n\u00famero decimal<\/b>\u00a0\u00e9 um n\u00famero racional caracterizado por ter um ponto (n\u00fameros que s\u00e3o repetidos indefinidamente) na sua expans\u00e3o decimal.<\/p>\n
Este per\u00edodo pode ser constitu\u00eddo por uma ou mais figuras, como estas:<\/b><\/p>\n
<\/p>\n
O per\u00edodo pode ser expresso por \u00a0um arco acima das figuras utilizadas, por exemplo:<\/p>\n
![\"Geratriz](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/ScreenHunter_52-Jan.-10-16.17.jpg\")
<\/p>\n
Dada uma d\u00edzima peri\u00f3dica, qual ser\u00e1 a fra\u00e7\u00e3o que d\u00e1 origem a esta d\u00edzima? Esta fra\u00e7\u00e3o \u00e9 de fato um n\u00famero racional denominado a geratriz da d\u00edzima peri\u00f3dica. Para obter a geratriz de uma d\u00edzima peri\u00f3dica devemos trabalhar com o n\u00famero dado pensado como uma soma infinita de n\u00fameros decimais. Para mostrar como funciona o m\u00e9todo, utilizaremos diversos exemplos num\u00e9ricos.<\/p>\n
Seja S a d\u00edzima peri\u00f3dica 0,3333333\u2026, isto \u00e9, S=0,3. Observe que o per\u00edodo tem apenas 1 algarismo.<\/p>\n
Iremos escrever este n\u00famero como uma soma de infinitos n\u00fameros decimais da forma:<\/b><\/p>\n
S = 0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+\u2026<\/p>\n
Multiplicando esta soma \u201cinfinita\u201d por 101=10 (o per\u00edodo tem 1 algarismo), obteremos:<\/b><\/p>\n
10 S = 3 + 0,3+0,03+0,003+0,0003+\u2026<\/p>\n
Observe que s\u00e3o iguais as duas \u00faltimas express\u00f5es que aparecem em cor vermelha!<\/p>\n
Subtraindo membro a membro a pen\u00faltima express\u00e3o da \u00faltima, obtemos:<\/b><\/p>\n
10 S \u2013 S = 3<\/p>\n
donde segue que:<\/b><\/p>\n
9 S = 3<\/p>\n
Simplificando, obtemos:<\/b><\/p>\n
S = 1<\/p>\n
3<\/p>\n
= 0,33333\u2026 = 0,3<\/p>\n
Exerc\u00edcio: Usando o mesmo argumento que antes, voc\u00ea saberia mostrar que:<\/b><\/p>\n
0,99999\u2026 = 0,9 = 1<\/p>\n
Vamos tomar agora a d\u00edzima peri\u00f3dica T=0,313131\u2026, isto \u00e9, T=0,31. Observe que o per\u00edodo tem agora 2 algarismos.<\/p>\n
Iremos escrever este n\u00famero como uma soma de infinitos n\u00fameros decimais da forma:<\/b><\/p>\n
T =0,31+0,0031+0,000031+\u2026<\/p>\n
Multiplicando esta soma \u201cinfinita\u201d por 102=100 (o per\u00edodo tem 2 algarismos), obteremos:<\/b><\/p>\n
100 T = 31 + 0,31+0,0031+0,000031+\u2026<\/p>\n
Observe que s\u00e3o iguais as duas \u00faltimas express\u00f5es que aparecem em cor vermelha!<\/p>\n
Subtraindo membro a membro a pen\u00faltima express\u00e3o da \u00faltima, obtemos:<\/b><\/p>\n
100 T \u2013 T = 31<\/p>\n
donde segue que<\/p>\n
99 T = 31<\/p>\n
e simplificando, temos que:<\/b><\/p>\n
S = 31<\/p>\n
99<\/p>\n
= 0,31313131\u2026 = 0,31<\/p>\n
Um terceiro tipo de d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9 T=7,1888\u2026, isto \u00e9, T=7,18. Observe que existe um n\u00famero com 1 algarismo ap\u00f3s a v\u00edrgula enquanto que o per\u00edodo tem tamb\u00e9m 1 algarismo.<\/p>\n
Escreveremos este n\u00famero como uma soma de infinitos n\u00fameros decimais da forma:<\/b><\/p>\n
R = 7,1 + 0,08+0,008+0,0008+\u2026<\/p>\n
Manipule a soma \u201cinfinita\u201d como se fosse um n\u00famero comum e passe a parte que n\u00e3o se repete para o primeiro membro para obter:<\/b><\/p>\n
R-7,1 = 0,08+0,008+0,0008+\u2026<\/p>\n
Multiplique agora a soma \u201cinfinita\u201d por 101=10 (o per\u00edodo tem 1 algarismo), para obter:<\/b><\/p>\n
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08+0,008+0,0008+\u2026<\/p>\n
Observe que s\u00e3o iguais as duas \u00faltimas express\u00f5es que aparecem em cor vermelha!<\/p>\n
Subtraia membro a membro a pen\u00faltima express\u00e3o da \u00faltima para obter:<\/b><\/p>\n
10(R-7,1) \u2013 (R-7,1) = 0,8<\/p>\n
Assim:<\/b><\/p>\n
10R \u2013 71 \u2013 R + 7,1 = 0,8<\/p>\n
Para evitar os n\u00fameros decimais, multiplicamos toda a express\u00e3o por 10 e simplificamos para obter:<\/b><\/p>\n
90 R = 647<\/p>\n
Obtemos ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n
R = 647<\/p>\n
90<\/p>\n
= 7,1888\u2026 = 7,18<\/p>\n
Um quarto tipo de d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9:<\/b><\/p>\n
T=7,004004004\u2026, isto \u00e9, U=7,004. Observe que o per\u00edodo tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros s\u00e3o iguais a zero e apenas o terceiro \u00e9 n\u00e3o nulo.<\/p>\n
Decomporemos este n\u00famero como uma soma de infinitos n\u00fameros decimais da forma:<\/b><\/p>\n
U = 7 + 0,004+0,004004+0,004004004+\u2026<\/p>\n
Manipule a soma \u201cinfinita\u201d como se fosse um n\u00famero comum e passe a parte que n\u00e3o se repete para o primeiro membro para obter:<\/b><\/p>\n
U-7 = 0,004+0,004004+0,004004004+\u2026<\/p>\n
Multiplique agora a soma \u201cinfinita\u201d por 103=1000 (o per\u00edodo tem 3 algarismos), para obter:<\/b><\/p>\n
1000(U-7) = 4 + 0,004+0,004004+0,004004004+\u2026<\/p>\n
Observe que s\u00e3o iguais as duas \u00faltimas express\u00f5es que aparecem em cor vermelha!<\/p>\n
Subtraia membro a membro a pen\u00faltima express\u00e3o da \u00faltima para obter:<\/b><\/p>\n
1000(U-7) \u2013 (U-7) = 4<\/p>\n
Assim:<\/b><\/p>\n
1000U \u2013 7000 \u2013 U + 7 = 4<\/p>\n
Obtemos ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n
999 U = 6997<\/p>\n
que pode ser escrita na forma:<\/b><\/p>\n
U = 6997<\/p>\n
999<\/p>\n
= 7,004004\u2026 = 7,004<\/p>\n
Fonte:<\/strong>\u00a0Col\u00e9gio S\u00e3o Francisco<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Uma\u00a0d\u00edzima peri\u00f3dica\u00a0\u00e9 um n\u00famero decimal com uma parte infinita que se repete continuamente. Essa sequ\u00eancia de repeti\u00e7\u00e3o \u00e9 chamada de “per\u00edodo”. Por ser uma representa\u00e7\u00e3o com um padr\u00e3o, ela pertence ao conjunto dos n\u00fameros racionais e pode ser escrita na forma de fra\u00e7\u00e3o (chamada de fra\u00e7\u00e3o geratriz). Um\u00a0n\u00famero decimal\u00a0\u00e9 um n\u00famero racional caracterizado por ter […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[414],"tags":[],"class_list":["post-94066","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica"],"acf":[],"yoast_head":"\n