![\"D\u00edzima](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/dizima-periodica-1.gif\")
<\/p>\nD\u00edzima peri\u00f3dica<\/b>\u00a0\u00e9 um n\u00famero decimal infinito que possui uma sequ\u00eancia de algarismos se repetindo periodicamente ap\u00f3s a v\u00edrgula (per\u00edodo). Sendo n\u00fameros racionais, podem ser convertidos em fra\u00e7\u00f5es chamadas fra\u00e7\u00e3o geratriz. Classificam-se em simples (repeti\u00e7\u00e3o logo ap\u00f3s a v\u00edrgula) ou compostas (com n\u00fameros n\u00e3o repetidos antes do per\u00edodo).<\/p>\n
Conceitos Principais<\/b><\/p>\n
Per\u00edodo:<\/b>\u00a0O algarismo ou grupo de algarismos que se repete infinitamente (ex<\/b>: em \\(0,4545…\\), o per\u00edodo \u00e9 (45)).<\/p>\n
Representa\u00e7\u00e3o<\/b>: Pode ser escrita com retic\u00eancias (\\(0,666…\\)) ou com uma barra sobre o per\u00edodo (O,6).<\/p>\n
D\u00edzima Simples:<\/b>\u00a0(0,777… (per\u00edodo \\(7\\) come\u00e7a logo ap\u00f3s a v\u00edrgula).<\/p>\n
D\u00edzima Composta:<\/b>\u00a00,12333… (o 12 \u00e9 o antiper\u00edodo, e o 3 \u00e9 o per\u00edodo).<\/p>\n
H\u00e1 fra\u00e7\u00f5es que n\u00e3o possuem representa\u00e7\u00f5es decimal exata.<\/p>\n
Por exemplo:<\/b><\/p>\n
<\/p>\n
Aos numerais decimais em que h\u00e1 repeti\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica e infinita de um ou mais algarismos, d\u00e1-se o nome de numerais decimais peri\u00f3dicos ou d\u00edzimas peri\u00f3dicas.<\/p>\n
Numa d\u00edzima peri\u00f3dica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o per\u00edodo dessa d\u00edzima.<\/p>\n
As d\u00edzimas classificam-se em d\u00edzimas peri\u00f3dicas simples e d\u00edzimas peri\u00f3dicas compostas.<\/p>\n
Exemplos:<\/b><\/p>\n
![\"D\u00edzima](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/dizima-periodica-2.jpg\")
<\/p>\n
S\u00e3o d\u00edzimas peri\u00f3dicas simples, uma vez que o per\u00edodo apresenta-se logo ap\u00f3s a v\u00edrgula.<\/p>\n
![\"D\u00edzima](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/dizima-periodica-3.jpg\")
<\/p>\n
Parte n\u00e3o peri\u00f3dica:<\/b>\u00a00 Per\u00edodo n\u00e3o peri\u00f3dica:\u00a015 Parte n\u00e3o peri\u00f3dica: 1<\/b><\/p>\n
S\u00e3o d\u00edzimas peri\u00f3dicas compostas, uma vez que entre o per\u00edodo e a v\u00edrgula existe uma parte n\u00e3o peri\u00f3dica.<\/p>\n
Observa\u00e7\u00f5es:<\/b><\/p>\n
Consideramos parte n\u00e3o peri\u00f3dica de uma d\u00edzima o termo situado entre v\u00edrgulas e o per\u00edodo. Exclu\u00edmos portanto da parte n\u00e3o peri\u00f3dica o inteiro.<\/p>\n
Podemos representar uma d\u00edzima peri\u00f3dica das seguintes maneiras<\/b>:<\/p>\n
![\"D\u00edzima](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/dizima-periodica-4.gif\")
<\/p>\n
Geratriz de uma d\u00edzima peri\u00f3dica<\/b><\/p>\n
\u00c9 poss\u00edvel determinar a fra\u00e7\u00e3o (n\u00famero racional) que deu origem a uma d\u00edzima peri\u00f3dica. Denominamos esta fra\u00e7\u00e3o de geratriz da d\u00edzima peri\u00f3dica.<\/p>\n
Procedimentos para determina\u00e7\u00e3o da geratriz de uma d\u00edzima:<\/b><\/p>\n
D\u00edzima simples<\/b><\/p>\n
A geratriz de uma d\u00edzima simples \u00e9 uma fra\u00e7\u00e3o que tem para numerador o per\u00edodo e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do per\u00edodo.<\/p>\n
Exemplos:<\/b><\/p>\n
![\"D\u00edzima](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/dizima-periodica-5.gif\")
<\/p>\n
D\u00edzima Composta:<\/b><\/p>\n
A geratriz de uma d\u00edzima composta \u00e9 uma fra\u00e7\u00e3o da forma ![\"\"](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/fracao.gif\")
, onde<\/p>\n
n \u00e9 a parte n\u00e3o peri\u00f3dica seguida do per\u00edodo, menos a parte n\u00e3o peri\u00f3dica.<\/p>\n
d tantos noves quantos forem os algarismos do per\u00edodo seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte n\u00e3o peri\u00f3dica.<\/p>\n
Exemplos:<\/b><\/p>\n
![\"D\u00edzima](\"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/wp-content\/uploads\/2017\/01\/dizima-periodica-6.gif\")
<\/p>\n
Uma d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9 um n\u00famero real da forma:<\/b><\/p>\n
m,npppp\u2026<\/p>\n
onde m, n e p s\u00e3o n\u00fameros inteiros, sendo que o n\u00famero p se repete indefinidamente, raz\u00e3o pela qual usamos os tr\u00eas pontos<\/b>: \u2026 ap\u00f3s o mesmo. A parte que se repete \u00e9 denominada per\u00edodo.<\/p>\n
Em alguns livros \u00e9 comum vermos<\/b>: uma barra sobre o per\u00edodo ou uma barra debaixo do per\u00edodo ou o per\u00edodo dentro de par\u00eanteses. Para nossa facilidade de escrita na montagem desta P\u00e1gina, usaremos o per\u00edodo sublinhado, pois a linguagem HTML n\u00e3o possui s\u00edmbolos especiais para colocarmos a barra sobre o per\u00edodo.<\/p>\n
Exemplos:<\/b>\u00a0D\u00edzimas peri\u00f3dicas<\/p>\n
0,3333333\u2026 = 0,3<\/p>\n
1,6666666\u2026 = 1,6<\/p>\n
12,121212\u2026 = 12,12<\/p>\n
0,9999999\u2026 = 0,9<\/p>\n
7,1333333\u2026 = 7,13<\/p>\n
Uma d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9 simples se a parte decimal \u00e9 formada apenas pelo per\u00edodo.<\/p>\n
Exemplos:\u00a0<\/b>D\u00edzimas peri\u00f3dicas simples.<\/p>\n
0,333333\u2026 = 0,(3) = 0,3<\/p>\n
3,636363\u2026 = 3,(63) = 3,63<\/p>\n
Uma d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9 composta se possui uma parte que n\u00e3o se repete entre a parte inteira e o per\u00edodo.<\/p>\n
Exemplos:<\/b>\u00a0D\u00edzimas peri\u00f3dicas compostas.<\/p>\n
0,83333333\u2026 = 0,83<\/p>\n
0,72535353\u2026 = 0,7253<\/p>\n
Observa\u00e7\u00e3o<\/b>: Uma d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9 uma soma infinita de n\u00fameros decimais.<\/p>\n
Exemplos:<\/b><\/p>\n
0,3333\u2026 = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \u2026<\/p>\n
0,8333\u2026 = 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \u2026<\/p>\n
4,7855\u2026 = 4,0 + 0,70 + 0,080 + 0,005 + 0,0005 + \u2026<\/p>\n
A conex\u00e3o entre n\u00fameros racionais e n\u00fameros reais<\/b><\/p>\n
Um fato importante que relaciona os n\u00fameros racionais com os n\u00fameros reais \u00e9 que todo n\u00famero real que pode ser escrito como uma d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9 um n\u00famero racional. Isto significa que podemos transformar uma d\u00edzima peri\u00f3dica em uma fra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
O processo para realizar esta tarefa ser\u00e1 mostrado na seq\u00fc\u00eancia com alguns exemplos num\u00e9ricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na seq\u00fc\u00eancia, deve-se aprofundar o estudo de s\u00e9ries geom\u00e9tricas no \u00e2mbito do Ensino M\u00e9dio ou mesmo estudar n\u00fameros racionais do ponto de vista do C\u00e1lculo Diferencial e Integral ou da An\u00e1lise na Reta no \u00e2mbito do Ensino Superior.<\/p>\n
A geratriz de uma d\u00edzima peri\u00f3dica<\/b><\/p>\n
Dada uma d\u00edzima peri\u00f3dica, qual ser\u00e1 a fra\u00e7\u00e3o que d\u00e1 origem a esta d\u00edzima? Esta fra\u00e7\u00e3o \u00e9 de fato um n\u00famero racional denominado a geratriz da d\u00edzima peri\u00f3dica. Para obter a geratriz de uma d\u00edzima peri\u00f3dica devemos trabalhar com o n\u00famero dado pensado como uma soma infinita de n\u00fameros decimais. Para mostrar como funciona o m\u00e9todo, utilizaremos diversos exemplos num\u00e9ricos.<\/p>\n
Seja S a d\u00edzima peri\u00f3dica 0,3333333\u2026, isto \u00e9, S=0,3. Observe que o per\u00edodo tem apenas 1 algarismo.<\/p>\n
Iremos escrever este n\u00famero como uma soma de infinitos n\u00fameros decimais da forma:<\/b><\/p>\n
S = 0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+\u2026<\/p>\n
Multiplicando esta soma \u201cinfinita\u201d por 101=10 (o per\u00edodo tem 1 algarismo), obteremos:<\/b><\/p>\n
10 S = 3 + 0,3+0,03+0,003+0,0003+\u2026<\/p>\n
Observe que s\u00e3o iguais as duas \u00faltimas express\u00f5es que aparecem em cor vermelha!<\/p>\n
Subtraindo membro a membro a pen\u00faltima express\u00e3o da \u00faltima, obtemos<\/b>:<\/p>\n
10 S \u2013 S = 3<\/p>\n
donde segue que<\/p>\n
9 S = 3<\/p>\n
Simplificando, obtemos:<\/b><\/p>\n
S = 1<\/p>\n
3<\/p>\n
= 0,33333\u2026 = 0,3<\/p>\n
Exerc\u00edcio: Usando o mesmo argumento que antes, voc\u00ea saberia mostrar que:<\/b><\/p>\n
0,99999\u2026 = 0,9 = 1<\/p>\n
Vamos tomar agora a d\u00edzima peri\u00f3dica T=0,313131\u2026, isto \u00e9, T=0,31. Observe que o per\u00edodo tem agora 2 algarismos.<\/p>\n
Iremos escrever este n\u00famero como uma soma de infinitos n\u00fameros decimais da forma:<\/b><\/p>\n
T =0,31+0,0031+0,000031+\u2026<\/p>\n
Multiplicando esta soma \u201cinfinita\u201d por 102=100 (o per\u00edodo tem 2 algarismos), obteremos:<\/b><\/p>\n
100 T = 31 + 0,31+0,0031+0,000031+\u2026<\/p>\n
Observe que s\u00e3o iguais as duas \u00faltimas express\u00f5es que aparecem em cor vermelha!<\/p>\n
Subtraindo membro a membro a pen\u00faltima express\u00e3o da \u00faltima, obtemos:<\/b><\/p>\n
100 T \u2013 T = 31<\/p>\n
donde segue que<\/p>\n
99 T = 31<\/p>\n
e simplificando, temos que<\/p>\n
S = 31<\/p>\n
99<\/p>\n
= 0,31313131\u2026 = 0,31<\/p>\n
Um terceiro tipo de d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9 T=7,1888\u2026, isto \u00e9, T=7,18. Observe que existe um n\u00famero com 1 algarismo ap\u00f3s a v\u00edrgula enquanto que o per\u00edodo tem tamb\u00e9m 1 algarismo.<\/p>\n
Escreveremos este n\u00famero como uma soma de infinitos n\u00fameros decimais da forma:<\/b><\/p>\n
R = 7,1 + 0,08+0,008+0,0008+\u2026<\/p>\n
Manipule a soma \u201cinfinita\u201d como se fosse um n\u00famero comum e passe a parte que n\u00e3o se repete para o primeiro membro para obter<\/b>:<\/p>\n
R-7,1 = 0,08+0,008+0,0008+\u2026<\/p>\n
Multiplique agora a soma \u201cinfinita\u201d por 101=10 (o per\u00edodo tem 1 algarismo), para obter<\/b>:<\/p>\n
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08+0,008+0,0008+\u2026<\/p>\n
Observe que s\u00e3o iguais as duas \u00faltimas express\u00f5es que aparecem em cor vermelha!<\/p>\n
Subtraia membro a membro a pen\u00faltima express\u00e3o da \u00faltima para obter<\/b>:<\/p>\n
10(R-7,1) \u2013 (R-7,1) = 0,8<\/p>\n
Assim:<\/b><\/p>\n
10R \u2013 71 \u2013 R + 7,1 = 0,8<\/p>\n
Para evitar os n\u00fameros decimais, multiplicamos toda a express\u00e3o por 10 e simplificamos para obter:<\/b><\/p>\n
90 R = 647<\/p>\n
Obtemos ent\u00e3o:<\/b><\/p>\n
R = 647<\/p>\n
90<\/p>\n
= 7,1888\u2026 = 7,18<\/p>\n
Um quarto tipo de d\u00edzima peri\u00f3dica \u00e9:<\/b><\/p>\n
T=7,004004004\u2026, isto \u00e9, U=7,004. Observe que o per\u00edodo tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros s\u00e3o iguais a zero e apenas o terceiro \u00e9 n\u00e3o nulo.<\/b><\/p>\n
Decomporemos este n\u00famero como uma soma de infinitos n\u00fameros decimais da forma:<\/b><\/p>\n
U = 7 + 0,004+0,004004+0,004004004+\u2026<\/p>\n
Manipule a soma \u201cinfinita\u201d como se fosse um n\u00famero comum e passe a parte que n\u00e3o se repete para o primeiro membro para obter:<\/b><\/p>\n
U-7 = 0,004+0,004004+0,004004004+\u2026<\/p>\n
Multiplique agora a soma \u201cinfinita\u201d por 103=1000 (o per\u00edodo tem 3 algarismos), para obter:<\/b><\/p>\n
1000(U-7) = 4 + 0,004+0,004004+0,004004004+\u2026<\/p>\n
Observe que s\u00e3o iguais as duas \u00faltimas express\u00f5es que aparecem em cor vermelha!<\/p>\n
Subtraia membro a membro a pen\u00faltima express\u00e3o da \u00faltima para obter:<\/b><\/p>\n
1000(U-7) \u2013 (U-7) = 4<\/p>\n
Assim:<\/b><\/p>\n
1000U \u2013 7000 \u2013 U + 7 = 4<\/p>\n
Obtemos ent\u00e3o<\/p>\n
999 U = 6997<\/p>\n
que pode ser escrita na forma:<\/b><\/p>\n
U = 6997<\/p>\n
999<\/p>\n
= 7,004004\u2026 = 7,004<\/p>\n
Fonte:<\/strong>\u00a0Col\u00e9gio S\u00e3o Francisco<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" D\u00edzima peri\u00f3dica\u00a0\u00e9 um n\u00famero decimal infinito que possui uma sequ\u00eancia de algarismos se repetindo periodicamente ap\u00f3s a v\u00edrgula (per\u00edodo). Sendo n\u00fameros racionais, podem ser convertidos em fra\u00e7\u00f5es chamadas fra\u00e7\u00e3o geratriz. Classificam-se em simples (repeti\u00e7\u00e3o logo ap\u00f3s a v\u00edrgula) ou compostas (com n\u00fameros n\u00e3o repetidos antes do per\u00edodo). Conceitos Principais Per\u00edodo:\u00a0O algarismo ou grupo de algarismos […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[414],"tags":[],"class_list":["post-93428","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica"],"acf":[],"yoast_head":"\n