{"id":93385,"date":"2017-01-09T14:27:32","date_gmt":"2017-01-09T16:27:32","guid":{"rendered":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/?p=93385"},"modified":"2026-05-14T18:58:56","modified_gmt":"2026-05-14T20:58:56","slug":"algebra","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/matematica\/algebra","title":{"rendered":"\u00c1lgebra"},"content":{"rendered":"

A\u00a0\u00e1lgebra<\/b>\u00a0\u00e9 um ramo fundamental da matem\u00e1tica que generaliza a aritm\u00e9tica, utilizando letras (vari\u00e1veis) e s\u00edmbolos para representar n\u00fameros e rela\u00e7\u00f5es em equa\u00e7\u00f5es, express\u00f5es e estruturas. Essencial para resolver problemas complexos e modelar situa\u00e7\u00f5es, ela manipula s\u00edmbolos para encontrar valores desconhecidos (inc\u00f3gnitas)<\/p>\n

A\u00a0\u00e1lgebra\u00a0<\/b>permite modelar e resolver problemas complexos, equa\u00e7\u00f5es, inequa\u00e7\u00f5es e fun\u00e7\u00f5es, sendo amplamente aplicada em \u00e1reas como engenharia, computa\u00e7\u00e3o e finan\u00e7as.<\/p>\n

A\u00a0\u00e1lgebra<\/strong>\u00a0\u00e9 a \u00e1rea da Matem\u00e1tica que estuda a manipula\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es, polin\u00f4mios e outras formas alg\u00e9bricas atrav\u00e9s do uso de opera\u00e7\u00f5es v\u00e1lidas para os conjuntos num\u00e9ricos.<\/p>\n

\"\u00c1lgebra\"\u00c1lgebra<\/b><\/p>\n

\u00c1lgebra – Hist\u00f3ria<\/b><\/p>\n

A hist\u00f3ria da \u00c1lgebra tem seu in\u00edcio com o estudioso Diofante de Alexandria que viveu entre 325 d.C e 409 d.C. e suas contribui\u00e7\u00f5es se basearam no uso de s\u00edmbolos para referenciar os c\u00e1lculos matem\u00e1ticos. Desta forma, a representa\u00e7\u00e3o de express\u00f5es passava a ser mais compacta e abstrata, deixando de ser totalmente a partir de palavras.<\/p>\n

A retomada deste legado ocorre na Babil\u00f4nia na ascens\u00e3o do Imp\u00e9rio \u00c1rabe, por volta do ano 825, quando foi escrita a obra que cunha o termo \u00e1lgebra, nomeada Hisab Al-jabr w\u2019al-muqabalah (\u02dcO livro da compendia no c\u00e1lculo pela conclus\u00e3o e balanceamento\u02dc, frequentemente abreviada como Al-jabr) pelo matem\u00e1tico, astr\u00f4nomo e ge\u00f3grafo \u00e1rabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maom\u00e9, filho de Mois\u00e9s, de Khowarizm).<\/p>\n

Este trabalho \u00e9 fruto da domin\u00e2ncia cultural e cient\u00edfica \u00e1rabe durante a Baixa Idade M\u00e9dia, em que despontaram outras \u00e1reas do saber como astronomia, aritm\u00e9tica e houve um resgate e tradu\u00e7\u00e3o de diversos manuscritos para a l\u00edngua \u00e1rabe como Os Elementos de Euclides.<\/p>\n

O principal legado de al Khowarizmi foi a apresenta\u00e7\u00e3o da nota\u00e7\u00e3o posicional indiana ao Ocidente, isto \u00e9, o sistema num\u00e9rico que conhecemos hoje com 10 algarismos hindu-ar\u00e1bicos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Desta forma, o matem\u00e1tico inspirou muitos eruditos a investigarem esta \u00e1rea de estudo, desenvolvendo novas formas de usar fra\u00e7\u00f5es decimais, determinar \u00e1reas e volumes.<\/p>\n

A representa\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es por s\u00edmbolos, removendo ainda mais palavras, ocorre apenas em meados do s\u00e9culo XVI, com o advogado Fran\u00e7ois Vi\u00e8te que decifrava c\u00f3digos secretos de mensagens de guerra entre a Fran\u00e7a e a Espanha. Outras contribui\u00e7\u00f5es contempor\u00e2neas a esta \u00e9poca ocorreram com o ingl\u00eas Robert Record que criou o s\u00edmbolo de igualdade (=).<\/p>\n

A elimina\u00e7\u00e3o completa das palavras em equa\u00e7\u00f5es foi alcan\u00e7ada com Ren\u00e9 Descartes, grande matem\u00e1tico e fil\u00f3sofo, aperfei\u00e7oou o sistema de representa\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es ao criar o s\u00edmbolo (.) para a multiplica\u00e7\u00e3o, a nota\u00e7\u00e3o que conhecemos hoje de expoentes e potencia\u00e7\u00e3o e passou a usar as primeiras letras do alfabeto como coeficientes da inc\u00f3gnita e termos independentes e as \u00faltimas letras do alfabeto para representar as pr\u00f3prias inc\u00f3gnitas, por exemplo, ax+b.\u00a0Agora vamos estudar as equa\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas e polin\u00f4mios. Mas primeiramente, entenderemos as bases das equa\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas que s\u00e3o as vari\u00e1veis e opera\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

Vari\u00e1veis<\/strong><\/p>\n

As vari\u00e1veis s\u00e3o identificadas usualmente pelas \u00faltimas letras do alfabeto e identificam valores desconhecidos na equa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x + 8 = 0<\/p>\n

A vari\u00e1vel da equa\u00e7\u00e3o \u00e9 x.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0y\u00b2 + 3\u00d7y + 2 = 0<\/p>\n

A vari\u00e1vel da equa\u00e7\u00e3o \u00e9 y.<\/p>\n

Opera\u00e7\u00f5es<\/strong><\/p>\n

As opera\u00e7\u00f5es mais usadas na \u00e1lgebra s\u00e3o adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o, divis\u00e3o, multiplica\u00e7\u00e3o, radicia\u00e7\u00e3o e potencia\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Vamos ver algumas propriedades de cada uma das opera\u00e7\u00f5es que s\u00e3o v\u00e1lidas para operandos de quaisquer conjuntos.<\/p>\n

Adi\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

A opera\u00e7\u00e3o da adi\u00e7\u00e3o consiste em somar elementos iguais. Podemos somar, por exemplo, vari\u00e1veis iguais, termos independentes iguais.<\/p>\n

As principais propriedades da adi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/b><\/p>\n

Associatividade:<\/strong>\u00a0podemos associar termos da soma e ainda obter o mesmo\u00a0resultado.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0(x + y) + z = x + (y + z)<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 12<\/p>\n

Comutatividade:<\/strong>\u00a0podemos comutar, isto \u00e9, intercambiar os termos da soma e ainda\u00a0obter o mesmo resultado.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x + y = y + x<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a06 + 11 = 11 + 6 = 17<\/p>\n

Exist\u00eancia de um elemento neutro:<\/strong>\u00a0existe um elemento que, quando somado a\u00a0qualquer equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o altera seu resultado. No caso da adi\u00e7\u00e3o, esse elemento \u00e9 o\u00a0n\u00famero zero (0).<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x + 0 = x<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a053 + 0 = 53<\/p>\n

Exist\u00eancia de um elemento inverso:<\/strong>\u00a0temos um elemento inverso quando a soma de\u00a0um elemento e seu inverso sempre gera o elemento neutro.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x + (\u2212x) = 0<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a030 + (\u221230) = 0<\/p>\n

Multiplica\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

A multiplica\u00e7\u00e3o \u00e9 indicada pelo sinal de ( \u00d7 ) o qual indica que em uma opera\u00e7\u00e3o de\u00a0y \u00d7 z iremos somar y vezes a vari\u00e1vel z.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a08\u00d73 = 8 + 8 + 8 = 24<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a04\u00d75 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20<\/p>\n

As propriedades da multiplica\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/strong><\/p>\n

Associatividade:<\/strong>\u00a0ao associar diferentes termos da multiplica\u00e7\u00e3o, ainda obteremos os mesmos resultados.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0( x \u00d7 y ) \u00d7 z = x \u00d7 ( y \u00d7 z )<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0( 3 \u00d7 2 ) \u00d7 4 = 3\u00d7 ( 2 \u00d7 4 ) = 24<\/p>\n

Comutatividade:<\/strong>\u00a0podemos comutar, ou seja, intercambiar elementos da multiplica\u00e7\u00e3o\u00a0sem alterar o resultado final.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0y \u00d7 z = z \u00d7 y<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a07 \u00d7 9 = 9 \u00d7 7 = 63<\/p>\n

Exist\u00eancia de um elemento neutro:<\/strong>\u00a0existe um elemento ao qual a sua multiplica\u00e7\u00e3o\u00a0por qualquer termo n\u00e3o afeta o resultado.<\/p>\n

Nessa opera\u00e7\u00e3o, o elemento neutro \u00e9 1.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0z \u00d7 1 = z<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0437 \u00d7 1 = 437<\/p>\n

Exist\u00eancia do elemento inverso:<\/b>\u00a0para cada termo (menos o zero), existe um\u00a0elemento inverso cuja multiplica\u00e7\u00e3o gera o elemento neutro, que no caso da\u00a0multiplica\u00e7\u00e3o \u00e9 o n\u00famero 1.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0z x \u00bd\u00a0= 1<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a02 x\u00a0\u00bd = 1<\/p>\n

Distributividade:<\/strong>\u00a0a propriedade distributiva da multiplica\u00e7\u00e3o sobre a adi\u00e7\u00e3o indica que\u00a0o produto da soma de dois termos \u00e9 igual a soma de cada um dos termos\u00a0multiplicados pelo primeiro.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x \u00d7 ( y + z ) = x \u00d7 y + x \u00d7 z<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a03 \u00d7 ( 6 + 4) = 3\u00d76 + 3\u00d74 = 30<\/p>\n

Subtra\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

A subtra\u00e7\u00e3o de elementos consiste na mesma opera\u00e7\u00e3o que a soma do primeiro\u00a0operando com o negativo do segundo operando.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x \u2013 y = x + (\u2013y)<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a07 \u2013 3 = 7 + ( \u20133) = 4<\/p>\n

Aten\u00e7\u00e3o:<\/strong>\u00a0Nem todas as propriedades da soma podemos usar para a subtra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0A subtra\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 comutativa, podemos observar simplesmente ao fazer<\/p>\n

3 \u2212 1 \u2260\u00a01 \u2212 3
\n2 \u2260\u00a0\u2212 2<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0A subtra\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 associativa<\/p>\n

(2\u20138)\u20133 = \u2212 9<\/p>\n

2 \u2212 (8 \u2212 3) = \u2212 3<\/p>\n

No entanto, existe um\u00a0elemento inverso<\/strong>\u00a0e um\u00a0elemento neutro<\/strong>\u00a0para a subtra\u00e7\u00e3o, assim como para a soma.<\/p>\n

Divis\u00e3o<\/strong><\/p>\n

A divis\u00e3o de elementos \u00e9 a opera\u00e7\u00e3o inversa da multiplica\u00e7\u00e3o, garantindo assim as propriedades de\u00a0exist\u00eancia do elemento inverso<\/strong>. Tamb\u00e9m, existe o elemento neutro, que \u00e9 o mesmo da multiplica\u00e7\u00e3o, o n\u00famero 1.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a01\/x = x<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a03\/1\u00a0= 3<\/p>\n

Mas igualmente a subtra\u00e7\u00e3o n\u00e3o assume todas as propriedades da soma, a divis\u00e3o tamb\u00e9m n\u00e3o assume todas as propriedades da multiplica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0a divis\u00e3o n\u00e3o \u00e9 associativa.<\/p>\n

(3 \/ 4) \/ 2 = 0,375
\n3 \/ (4 \/ 2) = 1,5<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0a divis\u00e3o n\u00e3o \u00e9 comutativa.<\/p>\n

4 \/ 2 = 2
\n2 \/ 4 = 0,5<\/p>\n

Express\u00f5es Alg\u00e9bricas<\/b><\/p>\n

Express\u00f5es s\u00e3o o n\u00facleo da \u00c1lgebra. Elas comp\u00f5e uma sequ\u00eancia de opera\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas entre operandos.<\/p>\n

Tais express\u00f5es podem ser de dois tipos:<\/b>\u00a0num\u00e9ricas, isto \u00e9, entre valores conhecidos ou express\u00f5es alg\u00e9bricas, que envolvem vari\u00e1veis entre os operandos.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a08 + 49\/7 \u2013 3 = 12 \u00e9 uma express\u00e3o num\u00e9rica<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x + y \u00e9 uma express\u00e3o alg\u00e9brica<\/p>\n

Equa\u00e7\u00f5es<\/b><\/p>\n

Equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o express\u00f5es alg\u00e9bricas com uma igualdade.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x\u00b2 + 2 \u00d7 x + 1 = 0<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a0x + 4 = 0<\/p>\n

Polin\u00f4mios<\/b><\/p>\n

Um polin\u00f4mio \u00e9 uma express\u00e3o alg\u00e9brica espec\u00edfica formada por opera\u00e7\u00f5es entre\u00a0mon\u00f4mios, que \u00e9 um produto de uma ou mais vari\u00e1veis a determinado expoente\u00a0multiplicado por um coeficiente.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a02x\u00b2<\/p>\n

Esse \u00e9 um mon\u00f4mio com a vari\u00e1vel x.<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a08xy<\/p>\n

Este \u00e9 um polin\u00f4mio nas vari\u00e1veis x e y<\/p>\n

Ex:<\/strong>\u00a09x8<\/sup>\u00a0+ 7x3<\/sup><\/p>\n

Fonte:<\/strong>\u00a0Col\u00e9gio S\u00e3o Francisco\/Luisa Boccardo Burini<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

A\u00a0\u00e1lgebra\u00a0\u00e9 um ramo fundamental da matem\u00e1tica que generaliza a aritm\u00e9tica, utilizando letras (vari\u00e1veis) e s\u00edmbolos para representar n\u00fameros e rela\u00e7\u00f5es em equa\u00e7\u00f5es, express\u00f5es e estruturas. Essencial para resolver problemas complexos e modelar situa\u00e7\u00f5es, ela manipula s\u00edmbolos para encontrar valores desconhecidos (inc\u00f3gnitas) A\u00a0\u00e1lgebra\u00a0permite modelar e resolver problemas complexos, equa\u00e7\u00f5es, inequa\u00e7\u00f5es e fun\u00e7\u00f5es, sendo amplamente aplicada em […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[414],"tags":[],"class_list":["post-93385","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica"],"acf":[],"yoast_head":"\n\u00c1lgebra, Matem\u00e1tica, Equa\u00e7\u00f5es, Express\u00f5es, \u00c1reas \u00c1lgebra<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"\u00c1lgebra, Matem\u00e1tica, Equa\u00e7\u00f5es, Express\u00f5es, \u00c1reas, Vari\u00e1veis, Adi\u00e7\u00e3o, Multiplica\u00e7\u00e3o, Divis\u00e3o, Polin\u00f4mios, 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