{"id":65385,"date":"2016-07-18T19:06:55","date_gmt":"2016-07-18T19:06:55","guid":{"rendered":"http:\/\/cms.portalsaofrancisco.com.br\/?p=65385"},"modified":"2017-06-26T13:09:14","modified_gmt":"2017-06-26T15:09:14","slug":"movimento-harmonico-simples","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/ciencias-da-natureza\/fisica\/movimento-harmonico-simples","title":{"rendered":"Movimento Harm\u00f4nico Simples"},"content":{"rendered":"

Vis\u00e3o Geral do Movimento Harm\u00f4nico Simples – MHS<\/strong><\/h2>\n

No estudo de oscila\u00e7\u00f5es, podemos identificar diferentes padr\u00f5es de comportamento, de modo que o movimento analisado pode seguir determinados par\u00e2metros constantes ou variar de forma indefinida. Entretanto, \u00e9 interessante para n\u00f3s analisar um caso espec\u00edfico de movimento oscilat\u00f3rio, no qual este se repete em intervalos regulares e bem definidos, o chamado movimento harm\u00f4nico simples ou MHS.<\/p>\n

Ao se tratar de oscila\u00e7\u00f5es, uma das principais grandezas relacionadas a este movimento \u00e9 a frequ\u00eancia, que indica o n\u00famero de oscila\u00e7\u00f5es por segundo. A frequ\u00eancia \u00e9 medida em Hertz (Hz), unidade padr\u00e3o no Sistema Internacional (SI). Isto significa que<\/p>\n

1 hertz = 1 oscila\u00e7\u00e3o por segundo<\/strong><\/p>\n

Diretamente ligado com a frequ\u00eancia, o per\u00edodo de um movimento oscilat\u00f3rio indica o tempo necess\u00e1rio para se completar um ciclo completo:<\/p>\n

\"F\u00f3rmula<\/p>\n

Onde,<\/p>\n

T \u00e9 o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00f5es e
\nf<\/em> \u00e9 a frequ\u00eancia de oscila\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

Como podemos observar na equa\u00e7\u00e3o (1), o per\u00edodo \u00e9 o inverso da frequ\u00eancia e sua unidade \u00e9 segundo (s).<\/p>\n

Podemos analisar a frequ\u00eancia em termos angulares tamb\u00e9m. A chamada frequ\u00eancia angular indica a tacha de oscila\u00e7\u00f5es em radianos por segundo (rad\/s) e pode ser calculada atrav\u00e9s da express\u00e3o:<\/p>\n

\"F\u00f3rmula<\/p>\n

Por fim, \u00e9 cab\u00edvel tamb\u00e9m definir a equa\u00e7\u00e3o que expressa a acelera\u00e7\u00e3o do MHS, que tamb\u00e9m ser\u00e1 \u00fatil para n\u00f3s adiante:<\/p>\n

\"F\u00f3rmula<\/p>\n

Onde,<\/p>\n

\u03c9 \u00e9 a frequ\u00eancia angular do sistema e
\nx \u00e9 o deslocamento da part\u00edcula<\/p>\n

Cabe ressaltar que na express\u00e3o (3), o sinal da acelera\u00e7\u00e3o \u00e9 negativo devido ao fato de o movimento harm\u00f4nico possuir uma for\u00e7a restauradora, que atua de modo a garantir que as oscila\u00e7\u00f5es continuem. Assim pode-se observar que quando o deslocamento est\u00e1 passando pelo maior valor positivo, a acelera\u00e7\u00e3o possui o maior valor negativo e vice-versa.<\/p>\n

O sistema massa-mola<\/strong><\/p>\n

Uma das formas mais comuns de se estudar MHS \u00e9 a partir do sistema massa-mola, que constitui o chamado oscilador harm\u00f4nico linear simples (OHS). A Figura 1 ilustra o funcionamento de um sistema massa mola.<\/p>\n

\"Sistema<\/p>\n

Com base nisto, podemos deduzir a primeira equa\u00e7\u00e3o para o OHS, sabendo que a acelera\u00e7\u00e3o do movimento harm\u00f4nico \u00e9 dada pela equa\u00e7\u00e3o (3), podemos aplica-la \u00e0 segunda lei de Newton, o que resulta em:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-4\"<\/p>\n

Podemos substituir, no sistema massa-mola, o termo \u00a0por k<\/em>, a constante el\u00e1stica da mola, assim:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-5\"<\/p>\n

Al\u00e9m da equa\u00e7\u00e3o (5), podemos utilizar a equa\u00e7\u00e3o (4) para escrever a frequ\u00eancia angular de uma forma alternativa a representada anteriormente, isolando\u00a0\u03c9\u00a0chegamos em:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-6\"<\/p>\n

Da mesma forma, podemos rescrever a equa\u00e7\u00e3o (6) em termos do per\u00edodo<\/em> das oscila\u00e7\u00f5es, visto que a frequ\u00eancia est\u00e1 diretamente ligada com o per\u00edodo segundo a equa\u00e7\u00e3o (1):<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-7\"<\/p>\n

Exemplo 1<\/strong><\/p>\n

Um bloco de massa 500 g est\u00e1 preso a uma mola de constante el\u00e1stica , formando um sistema massa-mola como o da Figura 1. O bloco ent\u00e3o \u00e9 puxado por uma superf\u00edcie sem atrito at\u00e9 uma dist\u00e2ncia de 10 cm a partir da posi\u00e7\u00e3o de equil\u00edbrio (x = 0) e \u00e9 liberado no instante t =0. Com base nestas informa\u00e7\u00f5es calcule:<\/p>\n

a) A frequ\u00eancia angular, a frequ\u00eancia e o per\u00edodo do movimento;<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-8\"<\/p>\n

Podemos calcular a frequ\u00eancia angular a partir da equa\u00e7\u00e3o (6), visto que conhecemos o valor da massa do bloco e a constante el\u00e1stica da mola.<\/p>\n

Sabemos pela equa\u00e7\u00e3o (2) que a frequ\u00eancia angular est\u00e1 diretamente relacionada com a frequ\u00eancia do movimento, logo:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-9\"<\/p>\n

Por fim, utilizando a equa\u00e7\u00e3o (1) podemos encontrar o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-10\"<\/p>\n

b) A acelera\u00e7\u00e3o m\u00e1xima do bloco;<\/p>\n

A acelera\u00e7\u00e3o m\u00e1xima do bloco \u00e9 o valor correspondente para o m\u00e1ximo deslocamento do bloco. Se o bloco foi solto de uma dist\u00e2ncia de 10 cm da origem, a m\u00e1xima dist\u00e2ncia que ir\u00e1 atingir durante as oscila\u00e7\u00f5es \u00e9 10 cm, visto que se trata de um sistema sem atrito e conservativo:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-11\"<\/p>\n

A energia do sistema massa-mola<\/strong><\/p>\n

Al\u00e9m das an\u00e1lises feitas anteriormente para o sistema massa-mola, podemos tamb\u00e9m estudar a forma como a energia deste sistema varia. Para oscila\u00e7\u00f5es como a do exemplo 1 no qual n\u00e3o h\u00e1 atrito que reduza as oscila\u00e7\u00f5es do bloco, teremos o chamado sistema conservativo. Isto significa que, para qualquer instante de tempo, a energia mec\u00e2nica do sistema ser\u00e1 sempre a mesma, visto que n\u00e3o h\u00e1 perda de energia.<\/p>\n

Neste caso, em que estamos analisando um sistema massa-mola, a energia mec\u00e2nica ser\u00e1 dada pela soma da energia cin\u00e9tica do bloco com a energia potencial el\u00e1stica da mola:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-12\"<\/p>\n

Sabendo que o valor de \u00a0ser\u00e1 sempre o mesmo, uma queda de energia cin\u00e9tica do sistema resultar\u00e1 necessariamente em um aumento de energia potencial do sistema e vice-versa, de modo manter constante o valor da energia mec\u00e2nica. Desta forma, as vari\u00e1veis da equa\u00e7\u00e3o (8) ser\u00e3o a velocidade do bloco v<\/em> e a posi\u00e7\u00e3o x<\/em> associada \u00e0 energia potencial.<\/p>\n

Exemplo 2<\/strong><\/p>\n

Em um sistema massa-mola, um bloco de massa 20 kg, est\u00e1 preso a uma mola de constante el\u00e1stica desconhecida, quando \u00e9 solto, a uma dist\u00e2ncia de 15 cm da posi\u00e7\u00e3o de equil\u00edbrio a partir do repouso. Sabe-se que a frequ\u00eancia das oscila\u00e7\u00f5es do sistema \u00e9 de 1,51 Hz. Com base nestas informa\u00e7\u00f5es calcule:<\/p>\n

a) A energia mec\u00e2nica total do sistema;<\/p>\n

N\u00e3o conhecemos o valor da velocidade do bloco, mas sabemos que quando x = 15 cm (a amplitude m\u00e1xima do sistema), a velocidade do bloco ser\u00e1 nula (visto que ao atingir a amplitude m\u00e1xima o bloco deixar\u00e1 de avan\u00e7ar para recuar para a origem), ent\u00e3o podemos calcular a energia mec\u00e2nica m\u00e1xima quando a amplitude \u00e9 m\u00e1xima e consequentemente a velocidade \u00e9 nula.<\/p>\n

Entretanto, ainda n\u00e3o podemos calcular a energia mec\u00e2nica do sistema porque n\u00e3o conhecemos a constante el\u00e1stica da mola, mas a partir da frequ\u00eancia fornecida, podemos encontrar a frequ\u00eancia angular e consequentemente a constante el\u00e1stica da mola.<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-13\"<\/p>\n

Agora, utilizando a equa\u00e7\u00e3o (8), chegamos em:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-14\"<\/p>\n

b) Qual a velocidade do bloco quando atingir o ponto de equil\u00edbrio?<\/p>\n

Sabemos que no ponto de equil\u00edbrio, a posi\u00e7\u00e3o x vale zero e tamb\u00e9m j\u00e1 conhecemos a energia mec\u00e2nica do sistema, logo:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-15\"<\/p>\n

\u00a0<\/strong>O p\u00eandulo simples<\/strong><\/p>\n

Um p\u00eandulo simples \u00e9 um sistema composto por uma part\u00edcula presa em uma das extremidades de um fio inextens\u00edvel enquanto a outra extremidade se encontra fixa. Desta forma a part\u00edcula est\u00e1 livre para oscilar para esquerda ou para a direita, como ilustra a figura a seguir:<\/p>\n

\"P\u00eandulo<\/p>\n

Para n\u00f3s, \u00e9 interessante analisar o per\u00edodo do p\u00eandulo. Para isso, vamos assumir que as oscila\u00e7\u00f5es se limitam a pequenas amplitudes somente, assim o per\u00edodo do p\u00eandulo simples ser\u00e1:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-16\"<\/p>\n

Onde,<\/p>\n

L \u00e9 o comprimento do fio e,
\ng \u00e9 a acelera\u00e7\u00e3o da gravidade.<\/p>\n

Repare que a massa da part\u00edcula presa ao fio n\u00e3o interfere no per\u00edodo de oscila\u00e7\u00f5es, que depende somente do comprimento do fio e do valor da gravidade.<\/p>\n

Exemplo 3<\/strong><\/p>\n

Uma part\u00edcula de massa 2 Kg, presa a um fio inextens\u00edvel de comprimento 2 metros, oscila de modo a forma um p\u00eandulo simples como na Figura 2. Considere g = 9,8 m\/s\u00b2 e calcule:<\/p>\n

a) O per\u00edodo das oscila\u00e7\u00f5es;<\/p>\n

Para calcular o per\u00edodo, basta aplicar a equa\u00e7\u00e3o (9):<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-17\"<\/p>\n

b) a tens\u00e3o no fio quando a part\u00edcula passa pelo ponto mais baixo da trajet\u00f3ria<\/p>\n

Para calcular a tens\u00e3o no fio, precisamos levar em conta a energia mec\u00e2nica do sistema.<\/p>\n

A energia mec\u00e2nica na trajet\u00f3ria mais alta ser\u00e1 dada somente pela energia potencial, visto que a velocidade neste ponto \u00e9 nula. Da mesma forma, a energia mec\u00e2nica no ponto mais baixo ser\u00e1 dada somente pela energia cin\u00e9tica, visto que a altura \u00e9 zero. Assim<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-18\"<\/p>\n

No ponto mais baixo da trajet\u00f3ria, o peso da part\u00edcula se op\u00f5e a tra\u00e7\u00e3o existente no fio e a acelera\u00e7\u00e3o presente no fio \u00e9 a centr\u00edpeta, assim podemos utilizar a segunda lei de Newton para resolver o problema:<\/p>\n

\"movimento-harmonico-simples-19\"<\/p>\n

Lucas Cardoso Toniol<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Vis\u00e3o Geral do Movimento Harm\u00f4nico Simples – MHS No estudo de oscila\u00e7\u00f5es, podemos identificar diferentes padr\u00f5es de comportamento, de modo que o movimento analisado pode seguir determinados par\u00e2metros constantes ou variar de forma indefinida. 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