{"id":150031,"date":"2020-09-03T13:45:03","date_gmt":"2020-09-03T15:45:03","guid":{"rendered":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/?p=150031"},"modified":"2026-05-18T15:51:53","modified_gmt":"2026-05-18T17:51:53","slug":"coordenadas-polares","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lab.fabricadelandings.com.br\/portalsaofrancisconovo\/matematica\/coordenadas-polares","title":{"rendered":"Coordenadas Polares"},"content":{"rendered":"

As\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0s\u00e3o qualquer um dos dois n\u00fameros que localizam um ponto em um plano por sua dist\u00e2ncia de um ponto fixo em uma linha e o \u00e2ngulo que esta linha faz com uma linha fixa<\/p>\n

As Coordenadas polares s\u00e3o um conjunto de valores que quantificam a localiza\u00e7\u00e3o de um ponto com base em:<\/strong><\/p>\n

1)<\/strong>\u00a0a dist\u00e2ncia entre o ponto e uma origem fixa e
\n2)<\/strong>\u00a0o \u00e2ngulo entre o ponto e uma dire\u00e7\u00e3o fixa.<\/p>\n

As\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0s\u00e3o um sistema complementar \u00e0s\u00a0coordenadas cartesianas<\/strong>, que s\u00e3o localizadas movendo-se atrav\u00e9s de um eixo x e para cima e para baixo no eixo y de maneira retangular.<\/p>\n

Enquanto as coordenadas cartesianas<\/strong> s\u00e3o escritas como (x, y), as coordenadas polares s\u00e3o escritas como (r,\u0398).<\/p>\n

Normalmente\u00a0coordenadas polares<\/strong>. uma das duas coordenadas usadas para localizar um ponto em um plano pelo comprimento de seu vetor de raio e o \u00e2ngulo que esse vetor faz com o eixo polar (\u00e2ngulo polar).<\/p>\n

Coordenadas Polares – O que s\u00e3o<\/b><\/p>\n

As\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0s\u00e3o uma forma de expressar a posi\u00e7\u00e3o em um plano bidimensional.<\/p>\n

As\u00a0coordenadas cartesianas<\/strong>, tamb\u00e9m chamadas de coordenadas retangulares, utilizam uma dist\u00e2ncia em cada uma das duas dimens\u00f5es para localizar um ponto, mas as coordenadas polares usam um \u00e2ngulo e uma dist\u00e2ncia. A dist\u00e2ncia \u00e0s vezes \u00e9 chamada de raio.<\/p>\n

Normalmente, as\u00a0coordenadas retangulares<\/strong>\u00a0s\u00e3o denotadas (x, y), onde x e y s\u00e3o as dist\u00e2ncias ao longo dos respectivos eixos.<\/p>\n

De maneira semelhante, as\u00a0coordenadas polares<\/strong> s\u00e3o expressas como (r,\u0398). A letra r \u00e9 a dist\u00e2ncia da origem no \u00e2ngulo representado pela letra grega theta,\u0398, onde r pode ser um n\u00famero positivo ou negativo.<\/p>\n

Se uma dist\u00e2ncia negativa for usada, a magnitude da dist\u00e2ncia n\u00e3o muda, mas a dire\u00e7\u00e3o \u00e9 tomada em oposi\u00e7\u00e3o ao \u00e2ngulo \u0398\u00a0no outro lado da origem.<\/p>\n

Um ponto em um sistema de coordenadas polares pode ser referido como representando um vetor, com uma magnitude de r, uma dire\u00e7\u00e3o de \u0398\u00a0e um senso de dire\u00e7\u00e3o, que \u00e9 o sinal de r.<\/p>\n

A tradu\u00e7\u00e3o entre coordenadas retangulares e polares pode ser realizada por meio do uso de f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas.<\/p>\n

Para a convers\u00e3o de retangular em polar, as seguintes f\u00f3rmulas podem ser aplicadas:\"\"<\/strong>\u00a0e\u00a0r<\/em>\u00a0= v(x<\/em>2<\/em><\/sup>\u00a0+\u00a0y<\/em>2<\/em><\/sup>)<\/p>\n

Para mudan\u00e7as de polar para retangular, essas equa\u00e7\u00f5es podem ser empregadas:\u00a0<\/strong><\/p>\n

As\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0tendem a ser usadas para qualquer situa\u00e7\u00e3o em que as coordenadas retangulares sejam dif\u00edceis ou inadequadas de usar e vice-versa.<\/p>\n

Qualquer aplica\u00e7\u00e3o envolvendo geometria circular ou movimento radial \u00e9 idealmente adequada para\u00a0coordenadas polares,<\/strong>\u00a0porque essas geometrias podem ser descritas com equa\u00e7\u00f5es relativamente simples em um sistema de\u00a0coordenadas polares<\/strong>; seus gr\u00e1ficos s\u00e3o mais curvil\u00edneos ou circulares na apar\u00eancia em compara\u00e7\u00e3o com aqueles em sistemas de coordenadas retangulares.<\/p>\n

Como resultado, as\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0t\u00eam uso para representar modelos de fen\u00f4menos do mundo real que t\u00eam formas arredondadas semelhantes.<\/p>\n

As aplica\u00e7\u00f5es das\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0s\u00e3o bastante variadas.<\/p>\n

Os\u00a0gr\u00e1ficos de coordenadas polares<\/strong>\u00a0foram usados para modelar os campos sonoros produzidos por diferentes locais de alto-falantes ou as \u00e1reas onde diferentes tipos de microfones podem captar melhor o som.<\/p>\n

As\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0s\u00e3o de grande import\u00e2ncia na modelagem dos movimentos orbitais em astronomia e viagens espaciais. Eles tamb\u00e9m s\u00e3o a base gr\u00e1fica para a famosa F\u00f3rmula de Euler, que \u00e9 regularmente aplicada em matem\u00e1tica para representa\u00e7\u00e3o e manipula\u00e7\u00e3o de n\u00fameros complexos.<\/p>\n

Como suas contrapartes retangulares, as\u00a0coordenadas polares<\/strong> n\u00e3o precisam ser limitadas a apenas duas dimens\u00f5es. Para expressar valores em tr\u00eas dimens\u00f5es, um segundo \u00e2ngulo representado pela letra grega phi, f, pode ser adicionado ao sistema de coordenadas. Qualquer ponto pode ser localizado desde a origem por uma dist\u00e2ncia fixa e dois \u00e2ngulos, e pode ser atribu\u00eddo as coordenadas\"\".<\/p>\n

Quando este tipo de nomenclatura \u00e9 usado para rastrear e localizar pontos no espa\u00e7o tridimensional, o sistema de coordenadas \u00e9 designado como um sistema de coordenadas esf\u00e9ricas.<\/p>\n

Esse tipo de geometria \u00e0s vezes \u00e9 chamado de coordenadas polares esf\u00e9ricas.<\/p>\n

Coordenadas esf\u00e9ricas, na verdade, t\u00eam uma aplica\u00e7\u00e3o bem conhecida \u2013 s\u00e3o usadas no mapeamento da Terra.<\/p>\n

O \u0398\u00a0\u00e9 \u00e2ngulo \u00e9 normalmente a latitude e \u00e9 limitado entre -90 graus e 90 graus, enquanto o \u00e2ngulo f \u00e9 a longitude e \u00e9 mantido entre menos-180 e 180 graus. Nesta aplica\u00e7\u00e3o, r pode \u00e0s vezes ser ignorado, mas \u00e9 mais frequentemente empregado para a express\u00e3o de eleva\u00e7\u00e3o acima do n\u00edvel m\u00e9dio do mar.<\/p>\n

Uma introdu\u00e7\u00e3o \u00e0s coordenadas polares<\/strong><\/p>\n

Em certo sentido, pode parecer estranho que a primeira maneira que aprendemos a representar a posi\u00e7\u00e3o de objetos em matem\u00e1tica seja usando coordenadas cartesianas, quando esse m\u00e9todo de localiza\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 o mais natural ou o mais conveniente. Para come\u00e7ar, voc\u00ea deve usar n\u00fameros negativos e tamb\u00e9m positivos para descrever todos os pontos no plano e criar uma grade (eixos de po\u00e7o) para usar como refer\u00eancia.<\/p>\n

Quando voc\u00ea pergunta a uma crian\u00e7a onde ela deixou a bola, ela dir\u00e1 \u201clogo ali\u201d e aponta. Eles est\u00e3o descrevendo (embora de forma muito aproximada) uma dist\u00e2ncia \u201cjusto\u201d e uma dire\u00e7\u00e3o \u201cali\u201d (apoiada por um ponto ou acenar com a cabe\u00e7a). Quando voc\u00ea pergunta a algu\u00e9m onde fica a cidade dela, ela costuma dizer coisas como \u201ccerca de 30 milhas ao norte de Londres\u201d. Novamente, uma dist\u00e2ncia e dire\u00e7\u00e3o. N\u00e3o \u00e9 muito frequente que algu\u00e9m d\u00ea a latitude e longitude de sua cidade!<\/p>\n

O uso de dist\u00e2ncia e dire\u00e7\u00e3o como meio de descrever a posi\u00e7\u00e3o \u00e9, portanto, muito mais natural do que usar duas dist\u00e2ncias em uma grade. Este meio de localiza\u00e7\u00e3o \u00e9 usado em coordenadas polares e rolamentos.<\/p>\n

As\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0de um ponto descrevem sua posi\u00e7\u00e3o em termos de uma dist\u00e2ncia de um ponto fixo (a origem) e um \u00e2ngulo medido de uma dire\u00e7\u00e3o fixa que, curiosamente, n\u00e3o \u00e9 \u201cnorte \u201d (ou para cima em uma p\u00e1gina), mas\u201d leste \u201d (para a direita). Essa \u00e9 a dire\u00e7\u00e3o Boi nos eixos cartesianos.<\/p>\n

Assim:<\/strong><\/p>\n

No plano, escolhemos um ponto fixo O, conhecido como \u201co p\u00f3lo \u201d.<\/p>\n

Em seguida, escolhemos um eixo Ox atrav\u00e9s do p\u00f3lo e o chamamos de \u201ceixo polar\u201d.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Precisamos agora de uma maneira de descrever esses pontos de uma forma eficiente e compreendida por todos.<\/p>\n

Dizemos que (r, \u0398) s\u00e3o as coordenadas polares do ponto P, onde r \u00e9 a dist\u00e2ncia P \u00e9 da origem O e \u0398\u00a0o \u00e2ngulo entre Ox e OP.<\/p>\n

Isso tamb\u00e9m significa que as coordenadas polares do p\u00f3lo O s\u00e3o (0, \u0398), onde \u0398\u00a0pode ser qualquer \u00e2ngulo.<\/p>\n

Coordenadas polares \u2013 Dimens\u00f5es<\/strong><\/p>\n

Em duas dimens\u00f5es, as\u00a0coordenadas cartesianas<\/strong>\u00a0(x, y) especifique a localiza\u00e7\u00e3o de um ponto P no plano.<\/p>\n

Outro sistema de\u00a0coordenadas bidimensional<\/strong>\u00a0s\u00e3o as coordenadas polares.<\/p>\n

Em vez de usar as dist\u00e2ncias sinalizadas ao longo dos dois eixos de coordenadas, as\u00a0coordenadas polares<\/strong> especificam a localiza\u00e7\u00e3o de um ponto P no plano por sua dist\u00e2ncia r da origem e o \u00e2ngulo \u0398\u00a0feito entre o segmento de linha da origem a P e o eixo x- positivo.<\/p>\n

As<\/b>\u00a0coordenadas polares<\/strong> (r,\u0398<\/b>) de um ponto P s\u00e3o ilustradas na figura abaixo<\/b><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como r varia de 0 a infinito e \u0398 varia de 0 a 2p, o ponto P especificado pelas coordenadas polares (r,\u0398) cobre todos os pontos no plano.<\/p>\n

Adicionar 2\u03a0 a \u0398 nos leva de volta ao mesmo ponto, portanto, se permit\u00edssemos que \u0398 abrangesse um intervalo maior que 2\u03a0, cada ponto teria v\u00e1rias coordenadas polares.<\/p>\n

Portanto, normalmente restringimos \u0398 para estar no intervalo 2\u03a0\u00a0<2p.<\/p>\n

Por\u00e9m, mesmo com essa restri\u00e7\u00e3o, ainda existe alguma n\u00e3o unicidade das coordenadas polares:<\/strong> quando r = 0, o ponto P est\u00e1 na origem independente do valor de \u0398.<\/p>\n

Quando voc\u00ea altera os valores das coordenadas polares r e \u0398\u00a0arrastando os pontos vermelhos nos controles deslizantes, o ponto azul se move para a posi\u00e7\u00e3o correspondente (x, y) nas coordenadas cartesianas.<\/p>\n

Alternativamente, voc\u00ea pode mover o ponto azul no plano cartesiano diretamente com o mouse e observar como as coordenadas polares nos controles deslizantes mudam.<\/p>\n

A coordenada r \u00e9 o comprimento do segmento de linha do ponto (x, y) \u00e0 origem e a coordenada \u0398\u00a0\u00e9 o \u00e2ngulo entre o segmento de linha e o eixo x positivo.<\/p>\n

Coordenadas polares \u2013 Sistemas<\/strong><\/p>\n

Um\u00a0sistema de coordenadas<\/strong>\u00a0em que a localiza\u00e7\u00e3o de um ponto \u00e9 determinada por sua dist\u00e2ncia de um ponto fixo no centro do espa\u00e7o de coordenadas (chamado de p\u00f3lo) e pela medi\u00e7\u00e3o do \u00e2ngulo formado por uma linha fixa (o eixo polar, correspondente ao eixo x em coordenadas cartesianas) e uma linha do p\u00f3lo atrav\u00e9s do ponto dado.<\/p>\n

As\u00a0coordenadas polares<\/strong> de um ponto s\u00e3o dadas como (r,\u0398), onde r \u00e9 a dist\u00e2ncia do ponto ao p\u00f3lo e \u0398\u00a0\u00e9 a medida do \u00e2ngulo.<\/p>\n

Os\u00a0sistemas de coordenadas<\/strong>\u00a0s\u00e3o ferramentas que nos permitem usar m\u00e9todos alg\u00e9bricos para entender a geometria.<\/p>\n

Embora as coordenadas retangulares (tamb\u00e9m chamadas de cartesianas) que estamos usando sejam as mais comuns, alguns problemas s\u00e3o mais f\u00e1ceis de analisar em sistemas de coordenadas alternativas.<\/p>\n

Um sistema de coordenadas \u00e9 um esquema que nos permite identificar qualquer ponto no plano ou no espa\u00e7o tridimensional por um conjunto de n\u00fameros.<\/p>\n

Em coordenadas retangulares, esses n\u00fameros s\u00e3o interpretados, grosso modo, como os comprimentos dos lados de um ret\u00e2ngulo.<\/p>\n

Em\u00a0coordenadas polares<\/strong>, um ponto no plano \u00e9 identificado por um par de n\u00fameros (r,\u0398).<\/p>\n

O n\u00famero \u0398\u00a0mede o \u00e2ngulo entre o eixo x positivo e um raio que passa pelo ponto, conforme mostrado na figura abaixo; o n\u00famero r mede a dist\u00e2ncia da origem ao ponto.<\/p>\n

A figura abaixo mostra o ponto com coordenadas retangulares (1,\u221a3<\/em>) e coordenadas polares (2, \u03a0\/3), 2 unidades da origem e \u03a0\/3\u00a0radianos do eixo x positivo.<\/p>\n

\"\"
\nCoordenadas polares do ponto<\/strong><\/p>\n

Assim como descrevemos curvas no plano usando equa\u00e7\u00f5es envolvendo x e y, tamb\u00e9m podemos descrever curvas usando equa\u00e7\u00f5es envolvendo r e \u0398.<\/p>\n

Coordenadas Polares<\/b>\u00a0– Hist\u00f3ria<\/strong><\/p>\n

\u00c9 sabido que os gregos usavam os conceitos de \u00e2ngulo e raio.<\/p>\n

O astr\u00f4nomo Hipparchus (190-120 aC) tabulou uma tabela de fun\u00e7\u00f5es do acorde dando o comprimento do acorde para cada \u00e2ngulo, e h\u00e1 refer\u00eancias ao uso de coordenadas polares no estabelecimento de posi\u00e7\u00f5es estelares. Em sobre as espirais, Arquimedes descreve sua famosa espiral, fun\u00e7\u00e3o cujo raio depende do \u00e2ngulo. O trabalho grego, no entanto, n\u00e3o se estendeu a um sistema de coordenadas completo.<\/p>\n

Existem v\u00e1rios relatos de quem primeiro introduziu as\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0como parte de um sistema de coordenadas formal.<\/p>\n

A hist\u00f3ria completa do assunto \u00e9 descrita em Origem das Coordenadas Polares, do professor de Harvard Julian Lowell Coolidge.<\/p>\n

Gr\u00e9goire de Saint-Vincent e Bonaventura Cavalieri introduziram os conceitos de forma independente quase ao mesmo tempo. Saint-Vincent escreveu sobre eles em particular em 1625 e publicou em 1647, enquanto Cavalieri publicou em 1635 com uma vers\u00e3o corrigida aparecendo em 1653.<\/p>\n

Cavalieri primeiro utilizou\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0para resolver um problema relacionado \u00e0 \u00e1rea dentro de uma espiral arquimediana.<\/p>\n

Blaise Pascal subsequentemente usou coordenadas polares para calcular o comprimento dos arcos parab\u00f3licos.<\/p>\n

Em Method of Fluxions (escrito em 1671, publicado em 1736), Sir Isaac Newton foi o primeiro a considerar as coordenadas polares como um m\u00e9todo de localiza\u00e7\u00e3o de qualquer ponto no plano.<\/p>\n

Newton examinou as transforma\u00e7\u00f5es entre\u00a0coordenadas polares<\/strong>\u00a0e nove outros sistemas de coordenadas. Em Acta eruditorum (1691), Jacob Bernoulli usou um sistema com um ponto em uma linha, chamado p\u00f3lo e eixo polar, respectivamente. As coordenadas foram especificadas pela dist\u00e2ncia do p\u00f3lo e o \u00e2ngulo do eixo polar.<\/p>\n

O trabalho de Bernoulli estendeu-se para encontrar o raio de curvatura das curvas expressas nessas coordenadas.<\/p>\n

O termo \u201ccoordenadas polares<\/strong>\u201d foi atribu\u00eddo a Gregorio Fontana e foi usado por escritores italianos do s\u00e9culo XVIII.<\/p>\n

O termo apareceu em ingl\u00eas na tradu\u00e7\u00e3o de 1816 de George Peacock de Lacroix\u2019s Differential and Integral Calculus.<\/p>\n

Alexis Clairaut e Leonhard Euler s\u00e3o creditados por estender o conceito de coordenadas polares a tr\u00eas dimens\u00f5es.<\/p>\n

Fonte:<\/strong>\u00a0mathinsight.org\/www.whitman.edu\/www.alamo.edu\/\/math.libretexts.org\/www.wisegeek.org\/www.cs.mcgill.ca\/nrich.maths.org<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

As\u00a0coordenadas polares\u00a0s\u00e3o qualquer um dos dois n\u00fameros que localizam um ponto em um plano por sua dist\u00e2ncia de um ponto fixo em uma linha e o \u00e2ngulo que esta linha faz com uma linha fixa As Coordenadas polares s\u00e3o um conjunto de valores que quantificam a localiza\u00e7\u00e3o de um ponto com base em: 1)\u00a0a dist\u00e2ncia […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[414],"tags":[],"class_list":["post-150031","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica"],"acf":[],"yoast_head":"\nCoordenadas Polares, Matem\u00e1tica, Dist\u00e2ncia Coordenadas Polares<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Coordenadas Polares, Matem\u00e1tica, Dist\u00e2ncia, Cartesianas, Sistema, Geometria, Aplica\u00e7\u00e3o, Hist\u00f3ria, O que s\u00e3o, 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